D7-2一阶微分方程

机动目录上页下页返回结束,一可分离变量方程,三一阶线性微分方程,二齐次方程,7.2一阶微分方程,一阶微分方程的一般形式是,一阶微分方程的显式形式是,或,一阶微分方程的对称形式是,机动目录上页下页返回结束,一可分离变量方程,或,通过恒等变形可变为,若一阶微分方程有如下形式,则称其为可分变量的微分方程,机动目录上页下页返回结束,（一）可分离变量方程的形式,（二）分离变量方程的解法,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有,则有,机动目录上页下页返回结束,即,称为方程的隐式通解,或通积分.,机动目录上页下页返回结束,反之若有,当,与,均可微且,则由隐函数理论知,方程可确定以x为自变量隐函数设为y(x)，,微分两边得,即确定的隐函数是微分方程的解。,类似地当,与,均可微且,时，,方程,确定以y为自变量隐函数设为,是微分方程的解。,例1求微分方程,的通解.,分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,解:,例2解初值问题,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,机动目录上页下页返回结束,解:,练习:,解法1分离变量,机动目录上页下页返回结束,方程,的通解,即,(C0),解法2,则,故有,积分,所求通解:,(C为任意常数),例3,子的含量M成正比,求在,衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.,根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,然后积分:,已知t=0时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,机动目录上页下页返回结束,解:,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,例4,成正比,求,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,机动目录上页下页返回结束,解:,例5求下述微分方程的通解:,令,机动目录上页下页返回结束,解:,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,机动目录上页下页返回结束,形如,的方程叫做齐次方程.,令,解法,二齐次方程,机动目录上页下页返回结束,（一）齐次方程,则,故,代入原方程得,分离变量:,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,例6解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),例7解微分方程,解:,机动目录上页下页返回结束,方程变形为,令,则有,分离变量,即,积分得,即,(C为任意常数),代回原变量得通解,注:,显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,求解过程中丢失了.,例8解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,即,积分得,即,当,时,当,时,则有,分离变量,（二）可化为齐次方程的方程,作变换,机动目录上页下页返回结束,1当,时，,(h,k为待定常数),则,原方程化为,令,解出h,k,原方程化为,作变换,机动目录上页下页返回结束,1当,时，,选择适当h,k,原方程化为,进一步化为,是齐次方程，,求出其解后将,代入。,原方程可化为,机动目录上页下页返回结束,2当,时，,令,则,原方程可化为,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,例9求解,解:,令,机动目录上页下页返回结束,则原方程化为,令,得,故令,方程变为,即,令,即YXu,得,机动目录上页下页返回结束,令,方程变为,，,令,分离变量得,积分后得,故,再由,得C=1,方程解为,例10:求解,解,第四节目录上页下页返回结束,令,则,则原方程化为,分离变量得,即,积分得,整理后,其中,故原方程有通解,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,称为齐次方程;,机动目录上页下页返回结束,三一阶线性微分方程,（一）解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,机动目录上页下页返回结束,（二）解非齐次方程,常数变易法:,机动目录上页下页返回结束,注意到非齐次方程对应齐次方程,通解为,自然,也是齐次方程的解。,设,是非齐次方程的解，,计算,，,这当然是个函数设为,即,即非齐次方程有解形如,接下来任务是求,则,即,设,机动目录上页下页返回结束,是,的解，,两端积分得,故原方程的通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,即,例11解方程,解:,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动目录上页下页返回结束,练习:利用公式计算,先解,例12有一电路如图所示,电阻R和电感,解:,已知经过电阻R的电压降为Ri,经过L的电压降为,因此有,即,初始条件:,其中电源,求电流,L都是常量,机动目录上页下页返回结束,电动势为,由闭合回路中,所有支路上的电压降为0，且,利用一阶线性方程解的公式可得,机动目录上页下页返回结束,由初始条件:,得,因此所求电流函数为,解的意义:,机动目录上页下页返回结束,例13求方程,的通解.,分析方程对y言是非线性的,但对x而言却是线性的。,方程可变为,机动目录上页下页返回结束,解,则,例14求方程,的通解.,注意x,y同号,机动目录上页下页返回结束,解:,当,时，,有,故方程也为,变形为,即,这是以y为自变量，,为函数的一阶线性方程,其中,例14求方程,的通解.,机动目录上页下页返回结束,当,时，,方程为,这是以y为自变量，,为函数的一阶线性方程,其中,故,即当,时，,方程通解为,类似可解,情形。,例15求一连续可导函数,使其满足下列方程:,解:,机动目录上页下页返回结束,令,得,求导得,即,利用公式可求出,注此类方程称为积分方程,可以通过求导转化为微分方程;,需注意的是这类问题是一个定解问题,（三）伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,除方程两边,得,解法:,伯努利目录上页下页返回结束,以,即,令,(线性方程),求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.,例16求方程,的通解.,方程两边除以,其通解为,机动目录上页下页返回结束,解:,得：,即,即,令,则方程变为,原方程通解:,一阶微分方程求解,1可分离变量方程解法(1)分离变量(2)积分,齐次方程,某些一阶方程,换元,常系数变易,齐次,2全微分方程,注:当方程视y为函数时不是线性的,可考察视x为函数时是否线性,思考题.设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,机动目录上页下页返回结束,2)再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3)原问题的解为,机动目录上页下页返回结束,速度,大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对x求导,得,又由于,设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v,备用题,的速度沿y轴正向运动,物体B从(1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,机动目录上页下页返回结束,代入式得所求微分方程:,其初始条件为,机动目录上页下页返回结束,(雅各布第一伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16