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常微分方程,习题课2,一存在唯一性定理,定理1考虑初值问题,命题2,命题4,命题3,命题5,二、近似计算和误差估计,求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里,1.解的延拓定理,定理,三、解对初值的连续性和可微性定理,2.解对初值的连续依赖性定理,条件:I.在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为a,b.,结论:对,使得当,时,方程(1)过点的解在a,b上也有定义,且,方程,3.解对初值的连续性定理,条件:在G内连续且关于满足局部Lips.条件;,方程,4.解对初值和参数的连续依赖定理,5.解对初值和参数的连续性定理,6.解对初值可微性定理,（4.1）,四、n阶线性微分方程,（4.2）,伏朗斯基行列式:,定理6(通解结构定理),定理7,(4.8),常数变易法求特解,(4.9),(4.10),由上面方程组求得,积分得,得（4.1）的通解,定理8,如果方程,（4.2）,定理9,如果方程,有复值解,和,的解。,常系数齐次线性方程,其中为常数。,（4.11）,求方程（4.11）的通解的一般步骤：,第二步计算方程相应的解,第一步求方程的特征方程及特征根,方程有两个如下形式的解：,方程有2m个如下形式的解：,第三步根据第二步写出基本解组和通解,c)对每一个重数为1的共轭复根,d)对每一个重数m1的共轭复根,欧拉方程,解法一：,令,则,解法二：,直接代入法,常系数非齐次线性方程,（4.24）,比较系数法,方程（4.24）有特解形如,（4.25）,类型,则方程有特解形如,(4.29),特殊情形：,或,方法：,复数法。,再由定理9得到所求方程的解取实部或虚部。,解题步骤:,第一步:,第二步:,求上面方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,五、可降阶的一些方程类型,1、不显含自变量x的方程,2不显含自变量t的方程,一般形式:,因为,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,第三步:,解方程,即得原方程的通解,2、不显含自变量t的方程,一般形式:,3.齐线性方程,求解问题归结为寻求方程的n个线性无关的特解。,解法：,已知方程的一个解，利用变换将方程降低一阶。,一般地，已知方程的k个线性无关解，可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶，且新得到的n-k阶方程也是齐次的。,试证明：存在常数C，使得,证明：,因为方程的两个解，故在R上有定义，,且,则,（见书124页定理4.）,即存在不全为零的数，使得,因,所以,否则有,可得,即线性无关，矛盾。,故,证明：,由已知条件知该方程满足解的存在唯一性及解的延拓定理，,且任一解的存在区间为R，,显然该方程有零解,假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相
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