一阶线性偏微分方程_第1页
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第二节一阶线性偏微分方程的解法,一、线性偏微分方程,1、线性算子,算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上便产生了另外一个函数。,2020/5/30,1,2020/5/30,2,2.线性微分方程解的叠加原理,定理3：一个给定的线性偏微分方程的解能够表示为它的一个特解和它所对应的齐次方程的解的和。,2020/5/30,3,2020/5/30,4,2020/5/30,5,积分可以得到未知函数组合形式的解，,二、常微分方程组的首次积分法,经适当组合化为一个可积分的微分方程.,首次积分法是将方程组,该方程为一个原方程组的首次积分.,2020/5/30,6,解将两个方程相加得,原方程组的一个首次积分.,再将两个方程相减得,例4求解方程组,原方程组的另一个首次积分.,2020/5/30,7,考虑一般的,阶微分方程组,其中,对,是连续可微的.,2020/5/30,8,如果在某区域内它们的Jacobi行列式,则称它们在区域G内为互相独立.,2020/5/30,9,2020/5/30,10,定理2若方程组为对称形式：,则是方程组的首次积分的充要条件为：,2020/5/30,11,定理7.1设已知微分方程组（7.1）的,个独立的首次积分,则该函数组就是微分方程组（7.1）的通解。,2020/5/30,12,例6利用首次积分求解方程组,解两个方程相除得,得到原方程组的一个首次积分,再利用两个方程相减得,2020/5/30,13,所以原方程组通解为,2020/5/30,14,小结：寻找首次积分的方法（技巧性强）,方法1(积分因子法)利用比例性质化分母为零，分子为某一函数的全微分形式。（教材P350）,2020/5/30,15,方法2：利用比例性质所得的分式与原来方程组中某一分式联立导出易于积分的形式。,2020/5/30,16,3.从方程组直接求出一个首次积分，将它代入原方程组，求出其它的首次积分。,2020/5/30,17,练习：,2020/5/30,18,作业：,三、用首次积分法解一阶齐次线性偏微分方程,1.特征方程：,考虑一阶齐次线性偏微分方程,2020/5/30,19,2020/5/30,20,例题：书P356例1,2020/5/30,21,一阶线性齐次偏微分方程的解法,步骤1：首先写出一阶线性齐次偏微分方程（1）的特征方程组（2）。,2020/5/30,22,四、一阶拟线性偏微分方程的求解,定义其特征方程为,考虑如下一阶拟线性偏微分方程,2020/5/30,23,定理：,是常微分方程组,的n个彼此独立的首次积分，那么原一阶拟线性方程（3）的通解为,2020/5/30,24,五.柯西问题,考虑一阶齐次线性偏微分
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