微分方程的基本概念及可分离变量的微分方程课件

2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,1,重点：常微分方程的基本概念，分类方法，可分离变量的常微分方程的解,难点：可分离变量的常微分方程的通解与特解的确定方法。,关键：基本概念；分离方法,知识连接：导数与微分的相关知识,第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,2,第一节微分方程的基本概念,一、问题的提出,二、微分方程的定义,三、主要问题求方程的解,四、总结,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,3,一、问题的提出,解：,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,4,解：,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,5,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,6,二、微分方程的定义,1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,说明:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；,未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程；,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,7,2.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶.,高阶(n)微分方程,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,8,三、主要问题-求方程的解,1.代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.,2.微分方程的解的分类：*,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,9,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,10,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,11,解,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,12,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,(通解可用初等函数或积分表示出来),2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,13,四、总结,本节基本概念：,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,14,第二节可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,三、小结,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,15,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,分离变量法,为微分方程的解.,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,16,例1求解微分方程,两端积分,二、典型例题,的通解。,即为所求的通解。,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,17,通解为,例2,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,18,衰变规律,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,19,例4,有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,20,设在微小的时间间隔,比较(1)和(2)得:,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,21,可分离变量,即为未知函数的微分方程.,所求规律为,2020/5/30,泰山医学院信息工程学院刘照军,22,三、小结,分离变量法步骤:,1、分离变量;,2、两端