微分方程习题课课件

1,微分方程习题课,2,求通解,一阶线性方程,通解为,其它一般方程,变量代换,齐次方程,令,可分离变量,可分离变量方程,隐式通解,解题方法流程图,3,可降阶的高阶微分方程,1高阶微分方程的定义,2可降阶的高阶微分方程类型,(1),(2),(3),3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图,可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。,4,解题方法流程图,逐次积分,解一阶微分方程,解一阶微分方程,Yes,No,5,3.非齐次方程的解题方法,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：,1）写出特征方程并求根；,2）求对应的齐次线性方程的通解,4）写出原方程的通解。,解题方法流程图如下图所示。,6,解题方法流程图,求通解,7,【1】求解微分方程。,【2】求微分方程的通解。,【3】求微分方程的特解。,【4】求方程的通解。,8,9,三、典型例题,解：分离变量为,积分得,分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。,【例1】求解微分方程。,因此，所求通解为.,10,分析：将方程变形，得,此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。,【例2】求微分方程的通解。,解：令,于是,上式可化为,11,分离变量,积分得,所以,故原方程的通解为,即,为可分离变量的方程,分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。,【例3】求微分方程的特解。,12,解法1：对应齐次方程为,分离变量解得,代入原方程得,由常数变易法，令，则,解得,所以原方程通解为,特解为,将代入得,13,特解为,将代入得,解法2：因为，利用求解公式得,14,【例4】求方程的通解。,解：由于不显含，令，则,代入原方程整理得,即,因此,再积分一次，即得原方程的通解为：,此解可以写成,15,代入原方程整理得,即,为一阶线性微分方程,16,利用公式得,即,积分得,17,代入原方程整理得,分离变量得：,18,积分得：,所以,即,，从而,分离变量得：,所求方程的特解为：,19,分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出,对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。,，特征方程为,20,对应齐次方程为：,对应齐次方程通解为：,所求的方程为：,通解为：,21,分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结,构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解.,解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，,它的特征方程,解得两个不同的实根,故齐次方程的通解为,22,由于是型(其中)，且,不是特征方程根，所以应设特解,得非齐次方程的通解为,解得,所求的特解为,23,解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，,它的特征方程为,解得两个不同的实根,故齐次方程的通解为,由于是型,（其中）,24,解之，得,由此求得一个特解为,比较等式两边的系数，得,求出把它们代入原方程，得,25,故齐次方程的通解为,（其中,26,代入原方程，解之得,故特解为,于是所求通解为,27,故齐次方程的通解为,属于混合型，令,不是特征方程根，故可设,所以,得,28,是特征方程根，故可设,求,于是原方程的通解为,29,故齐次方程的通解为,代入原方程，并比较两边系数，得,所以原方程的通解为,从而,30,分析：此等式中含有积分上限函数，因此想