微分方程的基本概念课件 (5)

1,微分方程,第一节微分方程的基本概念,2,第一节微分方程的基本概念,一、问题的提出二、微分方程的定义三、主要问题求方程的解四、小结思考题,3,解,则,将已知条件代入，得,则,设所求曲线方程为,又,应满足,时,两端对,积分，得,例1求一曲线在任意点处的斜率为，且过点（，）。,为所求曲线方程.,一、问题的提出,4,例列车在平直路线上以米秒的速度行驶，当制动时，列车获得加速度-.4米秒2，问开始制动后多长时间能停住，以及列车在这段时间行驶了多少路程？,等式两边同时积分，得,解,设列车开始制动后,秒内行驶了,米，,则,时,则,故开始制动后50秒停住且行驶了500米。,再积分,5,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,6,在微分方程中，自变量的个数只有一个,在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上,常微分方程,偏微分方程,常微分方程,偏微分方程,分类1：常微分方程,偏微分方程.,7,微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,8,例3指出下列各微分方程的阶：,(1),(2),(3),(4),(5),(6),一,三,二,一,二,一,9,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,非线性,线性,线性,10,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,三、主要问题-求方程的解,11,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任,意常数的个数与微分方程的阶数相同.,12,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,13,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,14,例4,验证函数,是微分方程,的通解。,证,任意常数的个数与方程的阶数相同,所以，结论成立。,15,求微分方程,例5,满足初始条件,的特解。,解,为其特解,初始条件,16,例6设一物体从A点出发作直线运动，,在任一时刻的速度大小,为运动时间的两倍，求物体运动规律。,所以,17,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,四、小结,本节基本概念：,18,1.试验证下面函数均为方程,的解，,常数，,(1),(2),(3),(4),(5),(6),练习,19,2.给定一阶微分方程,(1)求出它的通解；,(2)求通过点,的特解；,(3)求出与直线,相切的解；,(4)求出满足条件,的解。,20,思考题,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,21,练习题,3,2,1,2,22,二、确定函数关系式,所含的参数，使,其满足初始条件,23,三、设曲线上点,处的法线与,轴的交点为Q，,且