常微分方程复习课件

常微分方程复习,第一章,一、基本概念微分方程、常微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、通解、特解、隐式解、初值条件、初值问题、雅可比行列式二、基本结论通解的判定三、基本方法利用几何的知识建立微分方程,第二章,一、基本概念变量分离方程、线性方程、恰当方程、积分因子二、基本结论恰当方程的判定、积分因子的判定三、基本方法变量分离方程的求解、化方程为变量分离方程、恰当方程的求解、积分因子法求解微分方程、线性方程的求解、常数变易法、几种一阶隐式方程的求解,第三章,一、基本概念利普希茨条件、局部利普希茨条件、逐步逼近法、第n次近似解、饱和解二、基本结论解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初值的连续性和可微性定理三、基本方法利用逐步逼近法求解初值问题、解对初值的偏导数,第四章,一、基本概念n阶线性微分方程、函数组线性相关、函数组线性无关、朗斯基行列式、基本解组特征方程、特征值二、基本结论解的叠加原理、函数组线性相关性的判别定理、解的结构定理,第四章,三、基本方法判断函数组的线性相关性、齐次线性微分方程的求解、非齐次线性微分方程的求解、高阶微分方程的降阶、二阶微分方程的幂级数解法,第五章,一、基本概念线性微分方程组、(非)齐次线性微分方程组、向量函数组线性相(无)关、朗斯基行列式、基本解组、解矩阵、基解矩阵、特征值、特征向量二、基本结论解的存在唯一性定理、解的叠加原理、向量函数组线性相关性的判别定理、解的结构定理,第五章,三、基本方法判断向量函数组的线性相关性、基解矩阵的计算、齐次线性微分方程组的求解、非齐次线性微分方程组的求解、常数变易法,5.1存在唯一性定理,如果bij(t)(i,j1,2,n)都在区间a,b上连续,则称矩阵B(t)在区间a,b上连续;若ui(t)(i1,2,n)都在区间a,b上连续,则称向量u(t)在区间a,b上连续.,5.1存在唯一性定理,如果bij(t)(i,j1,2,n)都在区间a,b上可微,则称矩阵B(t)在区间a,b上可微;若ui(t)(i1,2,n)都在区间a,b上可微,则称向量u(t)在区间a,b上可微.且,5.1存在唯一性定理,关于矩阵和向量的导数成立如下等式:设nn矩阵A(t),B(t)以及n维向量u(t),v(t)都可微,则,5.1存在唯一性定理,如果bij(t)(i,j1,2,n)都在区间a,b上可积,则称矩阵B(t)在区间a,b上可积;若ui(t)(i1,2,n)都在区间a,b上可积,则称向量u(t)在区间a,b上可积.且,5.1存在唯一性定理,5.1存在唯一性定理,2.一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组形如,由n个含有n个未知函数的微分方程组成.,5.1存在唯一性定理,令,5.1存在唯一性定理,则(5.1)可写成,定义1设nn矩阵A(t)与n维向量f(t)都在区间a,b上连续.若定义在区间,a,b上的n维可微向量u(t)在,上有,即在,上u(t)满足方程组(5.4),则称u(t)为(5.4)的解.,5.1存在唯一性定理,定义2求方程组(5.4)满足初值条件A(t0)的解称为求解方程组的初值问题.一般记为,初值问题(5.5)的解是指(5.4)的包含t0的区间,上的解u(t),且满足u(t0).,5.1存在唯一性定理,例1试列出图(5.1)中经过L1及L2的电流I1及I2应满足的微分方程.,5.1存在唯一性定理,5.1存在唯一性定理,例2验证向量,是初值问题,在区间,上的解.,5.1存在唯一性定理,3.高阶线性方程与一阶线性微分方程组n阶线性微分方程的初值问题为,其中a1(t),a2(t),an(t),f(t)是区间a,b上的已知连续函数,t0a,b,1,2,n是已知常数.若令,5.1存在唯一性定理,5.1存在唯一性定理,则(5.6)可写成如下线性微分方程组的初值问题,容易验证初值问题(5.6)与(5.7)在如下意义下是等价的:给定其中一个初值问题的解,可以构造另一个初值问题的解.注任何一个n阶线性微分方程都可以化为n个一阶线性微分方程构成的方程组,反之不真.,5.1存在唯一性定理,二、存在唯一性定理1.矩阵与向量的范数对于nn矩阵Aaijnn和n维向量x(x1,x2,xn)T,其范数定义为,5.1存在唯一性定理,矩阵与向量的范数具有如下性质:,5.1存在唯一性定理,2.矩阵与向量的收敛性向量序列量xk,xk(x1k,x2k,xnk)T称为是收敛的,如果对每个i(i1,2,n),数列xik都是收敛的.向量函数序列量xk(t),xk(t)(x1k(t),x2k(t),xnk(t)T称为在区间a,b上是收敛的(一致收敛的),如果对每个i(i1,2,n),函数序列xik(t)在区间a,b上都是收敛的(一致收敛的).,5.1存在唯一性定理,向量函数项级数,上是收敛的(一致收敛的),如果其部分和构成的向量函数序列在a,b上是收敛的(一致收敛的).类似于函数项级数的一致收敛性的M判别法,可以给出向量函数项级数的M判别法.,称为在区间a,b,5.1存在唯一性定理,如果,而级数,注向量函数序列的极限函数与向量函数级数的和的连续性与可积性与函数列的极限函数和函数项级数的和函数的连续性与可积性相同.即具有极限与极限、极限与积分的可交换性和极限与求和、求和与积分的可交换性.,收敛,则,在a,b上一致收敛.,5.1存在唯一性定理,注将向量和向量函数换成矩阵和矩阵函数,上述定义和结论依然成立.,5.1存在唯一性定理,3.存在唯一性定理定理1(存在唯一性定理)如果A(t)是nn矩阵,f(t)是n维列向量,它们都在区间a,b上连续,则对于任意t0a,b及常数n维列向量,初值问题,在a,b上存在唯一解(t).,5.1存在唯一性定理,推论如果a1(t),a2(t),an(t),f(t)都是区间a,b上的连续函数,对任意t0a,b及1,2,n,初值问题,在a,b上存在唯一解w(t).,5.1存在唯一性定理,作业P2011,2(3),5.2线性微分方程组的一般理论,一、齐次线性微分方程组,二、非齐次线性微分方程组,5.2线性微分方程组的一般理论,这节主要讨论线性微分方程组,的解的结构.如果f(t)0,则称(5.14)为非齐次的.如果f(t)0,则(5.14)的变为,称之齐次的.通常称(5.15)为对应于(5.14)的齐次线性微分方程组.,5.2线性微分方程组的一般理论,一、齐次线性微分方程组1.解的叠加原理定理2(叠加原理)如果u(t)和v(t)是(5.15)的解,则它们的线性组合u(t)v(t)也是(5.15)的解,这里,是任意常数.,5.2线性微分方程组的一般理论,2.向量函数组的线性相关性定义设x1(t),x2(t),xn(t)为定义在a,b上的向量函数,如果存在不全为零的常数c1,c2,cn,使得等式,在a,b上恒成立,则称x1(t),x2(t),xn(t)在a,b线性相关,否则,称它们的线性无关.注证明向量函数组线性无关一般用反证法.而线性相关的证明则是构造性的,也就是要给出所需的常数.,5.2线性微分方程组的一般理论,在任何区间上都是线性无关的.,5.2线性微分方程组的一般理论,在任何区间上都是线性相关的.,5.2线性微分方程组的一般理论,定义设有n个定义在a,b上的向量函数,5.2线性微分方程组的一般理论,为向量函数x1(t),x2(t),xn(t)的朗斯基行列式.,称,5.2线性微分方程组的一般理论,定理3如果向量函数x1(t),x2(t),xn(t)在a,b上线性相关,则对任意ta,b有,5.2线性微分方程组的一般理论,定理4如果(5.15)的解x1(t),x2(t),xn(t)线性无关,那么,对任意ta,b有,注由定理3和定理4可知,由(5.15)的n个解构成的朗斯基行列式要么恒等于0,要么恒不等于0.,5.2线性微分方程组的一般理论,定理5齐次线性微分方程组(5.15)一定存在n个线性无关的解x1(t),x2(t),xn(t).,5.2线性微分方程组的一般理论,3.齐次线性微分方程组的解的结构定理6如果x1(t),x2(t),xn(t)是(5.15)的n个线性无关解,则(5.15)的任一解x(t)均可表为,其中c1,c2,cn是相应的确定常数.,5.2线性微分方程组的一般理论,推论1(5.15)的线性无关解的最大数等于n.推论2如果已知(5.15)的k个线性无关解,则(5.15)可以降低为含nk个未知函数的线性微分方程组.特别地,如果已知(5.15)的n1个线性无关解,则(5.15)的通解即可得到.,注称(5.15)的n个线性无关的解x1(t),x2(t),xn(t)为(5.15)的一个基本解组.基本解组不唯一.注(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.,5.2线性微分方程组的一般理论,4.基解矩阵定义如果一个nn矩阵的每一个列向量都是(5.15)的解,则称此矩阵为(5.15)的解矩阵.列向量在区间a,b上线性无关的解矩阵称为(5.15)的基解矩阵.用(t)表示由(5.15)的n个线性无关的解1(t),2(t),n(t)作为列向量构成的基解矩阵,当(t0)E时,称其为标准基解矩阵.,5.2线性微分方程组的一般理论,定理1*(5.15)一定存在一个基解矩阵(t).如果(t)是(5.15)的解,则,其中c是确定的n维常数列向量.,5.2线性微分方程组的一般理论,定理2*(5.15)的一个解矩阵(t)是基解矩阵的充要条件是det(t)0(atb).而且,如果对某个t0a,b,det(t0)0,则det(t)0(atb).,5.2线性微分方程组的一般理论,例1验证,是方程组,的基解矩阵.,5.2线性微分方程组的一般理论,推论1*如果(t)是(5.15)在区间a,b上的基解矩阵,C是非奇异nn常数矩阵,那么,(t)C也是(5.15)在区间a,b上的基解矩阵.,5.2线性微分方程组的一般理论,推论2*如果(t),(t)是(5.15)在区间a,b上的两个基解矩阵,那么,存在非奇异nn常数矩阵C,使得在区间a,b上有(t)(t)C.,5.2线性微分方程组的一般理论,二、非齐次线性微分方程组这节讨论非齐次线性微分方程组,的解的结构.其对应的齐次线性微分方程组为,5.2线性微分方程组的一般理论,1.解的结构性质1如果(t)是(5.14)的解,(t)是(5.14)对应的齐次线性微分方程组(5.15)的解,则(t)(t)是(5.14)的解.,5.2线性微分方程组的一般理论,性质2如果(t)和(t)是(5.14)的两个解,则(t)(t)是(5.15)的解.,5.2线性微分方程组的一般理论,定理7设(t)是(5.15)的基解矩阵,这里c是确定的常数列向量.,(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解都可表为,是,5.2线性微分方程组的一般理论,2.常数变易法若(5.14)对应的齐次线性微分方程组(5.15)的基解矩阵(t)已知,为了求(5.14)的通解,将(5.15)的通解中的常数列向量用列向量函数代替,然后利用(5.14)确定该列向量函数,进而得到(5.14)的通解,这种求解非齐次线性微分方程组(5.14)的方法称为常数变易法.,5.2线性微分方程组的一般理论,定理8如果(t)是(5.15)的基解矩阵,则向量函数,是(5.14)的解,且满足初值条件(t0)0.注由定理7和定理8可知:(5.14)满足初值条件(t0)的解为,(5.26)或(5.27)称为非齐次线性微分方程组(5.14)的常数变易公式.,5.2线性微分方程组的一般理论,例2试求初值问题,的解.,5.2线性微分方程组的一般理论,推论3如果ai(t)(i1,2,n)及f(t)是a,b上的连续函数,x1(t),x2(t),xn(t)是a,b齐次线性方程,的基本解组,那么,非齐次线性微分方程,的满足初值条件,的解为,5.2线性微分方程组的一般理论,这里Wx1(s),x2(s),xn(s)是x1(s),x2(s),xn(s)的朗斯基行列式,Wkx1(s),x2(s),xn(s)是将行列式Wx1(s),x2(s),xn(s)的第k列用(0,0,0,1)替换后的行列式,且(5.28)的任一解都具有形式,注公式(5.29)称为(5.28)的常数变易公式.,5.2线性微分方程组的一般理论,作业P2161,5,8,11,13,5.2线性微分方程组的一般理论,1.齐次线性微分方程组(1)解的叠加性解构成线性空间;(2)解向量函数组线性相关其朗斯基行列式恒等于0其朗斯基行列式在某点等于0;(3)存在n个线性无关解,且任一解可由n个线性无关解线性表出;(4)由(3)知解构成n维线性空间;(5)解解矩阵基解矩阵(基解矩阵不唯一)(6)任一解等于基解矩阵乘以一常数列向量.,5.2线性微分方程组的一般理论,2.非齐次线性微分方程组(1)齐次解加非齐次解为非齐次解,任意两个非齐次的解只差为齐次解;(2)非齐次的通解等于齐次的通解加上非齐次的一个特解;(3)非齐次线性微分方程组的常数变易法.,5.3常系数线性微分方程组,一、矩阵指数expA的定义和性质,二、基解矩阵的计算公式,三、拉普拉斯变换的应用,5.3常系数线性微分方程组,这节讨论常系数齐次线性微分方程组,的基解矩阵的结构,给出用代数方法求基解矩阵的方法,最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用.,一、矩阵指数expA的定义和性质1.expA的定义设A是一个nn常数矩阵,定义,5.3常系数线性微分方程组,其中E为n阶单位矩阵,Ak为矩阵的k次幂.易知,由于,5.3常系数线性微分方程组,则(5.34)式中的矩阵级数对任何nn常数矩阵A都是收敛的,因此,上述定义有意义.而对于级数,易知,它在任何有限区间上是一致收敛的.,2.expA的性质(1)如果矩阵A,B是可交换的,即ABBA,则,5.3常系数线性微分方程组,(2)对于任何矩阵A,(expA)1存在,且,5.3常系数线性微分方程组,(3)如果T是非奇异(可逆)矩阵,则,5.3常系数线性微分方程组,3.齐次线性微分方程组的基解矩阵定理9矩阵,5.3常系数线性微分方程组,是(5.33)的基解矩阵,且,注由定理9可知,(5.33)的任何解都具有形式,其中c是任意常数列向量.,例1如果A是一个对角矩阵,即,5.3常系数线性微分方程组,其中未写出的元均为0.试找出xAx的基解矩阵.,例2试求,5.3常系数线性微分方程组,的基解矩阵.,二、基解矩阵的计算公式1.矩阵的特征值与特征向量设A是一个nn常数矩阵,使得关于u的线性代数方程组,5.3常系数线性微分方程组,具有非零解的常数称为A的一个特征值.(5.45)的对应于任一特征值的非零解u称为A的对应于特征值的特征向量.,n次多项式,5.3常系数线性微分方程组,称为A的特征多项式,n次代数方程,称为A的特征方程.也称为(5.33)的特征方程.方程(5.46)的单根称为简单特征根,而k重根则称为k重特征根.,例3试求矩阵,5.3常系数线性微分方程组,的特征根和对应的特征向量.,例4试求矩阵,5.3常系数线性微分方程组,的特征根和对应的特征向量.,2.基解矩阵的计算由特征值与特征向量的定义可知,etc是齐次线性微分方程组(5.33)的解的充要条件是:是A的特征值,而c是A的对应于特征值的特征向量.由于矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的,因此,对应于不同的特征值我们可以得到齐次线性微分方程组的线性无关的解.,5.3常系数线性微分方程组,定理10如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,vn,它们对应的特征分别是1,2,n(不必各不相同),那么,矩阵,5.3常系数线性微分方程组,是常系数线性微分方程组,的一个基解矩阵.,5.3常系数线性微分方程组,的一个基解矩阵.,例5试求方程组xAx,其中,5.3常系数线性微分方程组,因此,注存在非奇异常数矩阵C,使得,上式给出了一种我们计算expA的方法,同时也给出了我们一种构造实基解矩阵的方法.,例6试求例5中的实基解矩阵(或计算expAt).,上面讨论的是矩阵A具有n个线性无关特征向量时对应线性微分方程组基解矩阵的计算.下面讨论一般情形下基解矩阵的计算问题.,5.3常系数线性微分方程组,线性代数知识回顾设A是nn矩阵,1,2,k是A的不同特征值,其重数分别为n1,n2,nk,n1n2nkn,则对j(j1,2,k),方程组,5.3常系数线性微分方程组,的解构成n维欧氏空间U的nj维子空间Uj,且n维欧氏空间可表示为U1,U2,Uk的直和,即对任意的uU,存在唯一的ujUj(j1,2,k),使得uu1u2uk.,下面给出计算基解矩阵expAt的方法.我们从计算(5.33)满足初值条件(0)的解(t)开始.由上述讨论可知,存在唯一的vjUj,使得v1v2vk,(5.50)而对任意inj(j1,2,k),5.3常系数线性微分方程组,由于,5.3常系数线性微分方程组,则,5.3常系数线性微分方程组,所以,(t)可以表示为,5.3常系数线性微分方程组,(5.33)满足初值条件(0)的解(t)为,5.3常系数线性微分方程组,有了以上的讨论我们就可以计算expAt了.,若A只有一个特征值,则对任意u,有,5.3常系数线性微分方程组,即,从而有,对一般的A,由于,5.3常系数线性微分方程组,其中,因此,依次令e1,e2,en,由(5.52)可得到n个解,以这n个解为列向量的矩阵就是expAt.,5.3常系数线性微分方程组,5.