常微分方程2.3课件

2.3恰当微分方程与积分因子,2.3.1恰当微分方程一阶微分方程可写成本节考虑一般的微分形式的一阶微分方程:,其中M(x,y),N(x,y)是某区域D内的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.定义:若存在一个二元函数u(x,y)使得那么称方程(1)为恰当微分方程(全微分方程).显然,全微分方程(1)的通解是:u(x,y)=c.,自然有下述两问:(1)为恰当方程的条件?当(1)为恰当方程时,如何求u(x,y)?定理:设方程(1)中的M(x,y),N(x,y)在平面单连通区域D内具连续一阶偏导数,则(1)为恰当方程的充要条件是:在D内恒有,证明必要性:因为连续,所以,充分性:在的条件下找u(x,y)使du=Mdx+Ndy,即成立.(其中待定)代入,得,需要证明与x无关.事实上,在连续的条件下有,所以于是求得,恰当方程的解法1)线积分法因为(1)为全微分方程,满足,所以方程(1)的通解是积分路线为内D某点(x0,y0)到(x,y)的任一路径.,例1解方程(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0.解:因为所以,原方程是恰当方程.所以原方程的通解是x3+3x2y2+y4=c.,例2解方程解:因为所以,原方程是恰当方程.,所以原方程的通解是,2)不定积分法利用定理的充分性的证明方法,求同时满足等式的u(x,y).例如,例1(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0.设法求同时满足的u(x,y).,由(3)式得u=x3+3x2y2+k(y).代入(4)式得所以,通解是x3+3x2y2+y4=c.,3)观察法(分项组合)对于已经确定是恰当方程的微分方程,可用分项组合的方法:先将本身已构成全微分的项分出,再把其余的项凑成某函数的全微分.此法需熟记一些简单的二元函数的全微分,如,例如,例1(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0.再如,例3(cosy+ycosx)dx+(sinx-xsiny)dy=0,例4,2.3.2积分因子1.定义:如果存在连续可微的函数=(x,y)0,使(x,y)M(x,y)dx+(x,y)N(x,y)dy=0(5)成为恰当方程,即存在v(x,y),使(x,y)M(x,y)dx+(x,y)N(x,y)dydv(x,y),则称为方程(1)的积分因子.,注1:v(x,y)=c是方程(5)的通解,因为(x,y)0,所以v(x,y)=c也是(1)的通解;注2:一个方程可以有不同的积分因子.如,对于方程ydx-xdy=0,都是它的积分因子.只要方程(1)有解,则必存在积分因子.因所选择的积分因子不同,得到的通解可能有不同的形式,但它所定义的积分曲线族是一样的.,2.积分因子的求法根据定义知,(x,y)是方程(1)的积分因子的充要条件是:即这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程.,若存在只与x有关的积分因子,则根据(6)得所以,方程(1)存在只与x有关的积分因子的充要条件是此时,是方程(1)的一个积分因子.,存在只与y有关的积分因子的充要条件是此时,是方程(1)的一个积分因子.存在只与z=x2+y2有关的积分因子的充要条件是此时,是方程(1)的一个积分因子.,例5解方程2xydx-(x2+y2-1)dy=0.解:因为所以有积分因子于是,原方程可化为,所以,通解是另外,也y=0是解.,例6解方程(x2+y2+x)dx+xydy=0.解:因为所以有积分因子原方