常微分方程1.1-1.2课件

,常微分方程,Ordinarydifferentialequation,常微分方程,主讲教师：赵景霞,E-mail:zhangjingxia,课程基本介绍,课程名称：常微分方程,开课学时：64学时,答疑地点：理学院425,课程目的,学习各类可求解的常微分方程和方程组的类型及其求解方法。熟悉常微分方程解的基本性质，如解的存在性，唯一性等内容，了解研究常微分方程的基本方法，如稳定性分析、定性分析等。,微分方程的发展过程,微分方程几乎是与微积分同时发展起来的，由于它与力学、物理学的渊源很深，所以在13世纪便已自成一门独立的学科了。两个多世纪来，这一学科已发展得相当完善。,1676年，莱布尼兹在致牛顿的信中，首先提出了“微分方程DifferentialEquations”这个名称。,早期微分方程的研究侧重于探讨各类一阶方程的解法，并由此导致了方程的分类。,微分方程的发展过程,18世纪，欧拉解决了全微分方程和“欧拉方程”(一类高阶变系数线性微分方程)，提出了通解和特解的概念，指出了n阶线性方程通解的结构。其后，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推导了非齐次线性方程的常数变易法。,对于微分方程组的研究，始于达朗贝尔。19世纪前半叶，柯西开始研究解的存在性和唯一性。,微分方程的发展过程,19世纪后半叶，数学家们开始利用群论来研究微分方程，由此建立连续群和李群的新理论。庞加莱引入了极限环的概念，李雅普诺夫引入了微分方程组解的稳定性概念。他们的方法都不必直接求解，称为定性理论。1927年，毕尔霍夫建立了“动力系统”的一段定性理论。,求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。,微分方程理论发展经历了三个过程：,微分方程的发展过程,参考书目/ReferenceBooks/,叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。王柔怀，伍卓群，常微分方程讲义，人民教育出版社。王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,常微分方程,高等教育出版社,第一章初等积分法,IntegratedMethod,学习要点,能快速判断微分方程的类型,理解微分方程解的意义,熟练掌握一些重要的常见的一阶方程的类型及其求解方法,例如:1)代数方程(组)，其未知量为数一元n次代数方程：,无理方程：,方程组：,1.方程/Equation/,一、基本概念,含有未知量(数)的等式(或关系式),2)超越方程（组），其含有超越函数,三角方程：,指数方程：,特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）,3)函数方程（或泛函方程），其未知量为函数,其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。,4)微分方程含有未知函数的导数或微分的方程。,例1物体冷却过程的数学模型,解,2Newton冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。,热力学基本规律：1热量总是从温度高的物体像温度低的物体传导的；,常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/,常微分方程/ODE/在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。,偏微分方程/PDE/自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。,2.微分方程的分类：,一阶与高阶微分方程/FirstandHigherODE/,微分方程的阶/Order/在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。,当n1时，称为高阶微分方程。,当n=1时，称为一阶微分方程；,一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：,一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：,类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：,n阶显方程的一般形式为,其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。,线性和非线性微分方程LinearandNonlinearODE,未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为线性微分方程.,为线性的;,为非线性的.,3.解和隐式解/Solution/,若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解，方程解和隐式解统称为方程的解。,通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/,其通解为,特解:确定了通解中任意常数以后的解.,定解条件:用来确定任意常数的条件.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,n阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示,一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示,初值条件/InitialValueConditions/,有n个定解条件,积分曲线和积分曲线族/IntegralCurve(s)/,积分曲线族,练习题,初等积分法/IntegratedMethod/：,通过积分求解常微分方程的一种方法，其特点是微分方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式来表示。,1.2变量可分离方程,1.显式变量可分离方程的解法,形式：,(1)分离变量,(2)两边积分,(3),解法,因为将y视为x的函数，对G(y)=F(x)+C两端关于x求导，,（c为任意正常数）,解,1)分离变量,2)两边积分,3)求通解,或者,通解中，因而方程还有解y=0,（3）,（c为任意常数）,为方程的通解。,注意y=0时，也是方程的解，而其