常微分方程 7

2020/5/30,1,第一节微分方程的基本概念,一、问题的提出,二、微分方程的定义,三、主要问题求方程的解,四、小结思考题,第五章常微分方程,2020/5/30,2,解,一、问题的提出,2020/5/30,3,解,2020/5/30,4,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,2020/5/30,5,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,2020/5/30,6,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3:线性与非线性微分方程.,2020/5/30,7,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,2020/5/30,8,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,2020/5/30,9,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,2020/5/30,10,解,2020/5/30,11,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),2020/5/30,12,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,2020/5/30,13,练习题,2020/5/30,14,练习题答案,2020/5/30,15,第二节一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、齐次方程,三、一阶线性微分方程,2020/5/30,16,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,2020/5/30,17,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,典型例题,2020/5/30,18,解,由题设条件,衰变规律,2020/5/30,19,思考题,求解微分方程,思考题解答,为所求解.,2020/5/30,20,练习题,练习题答案,2020/5/30,21,二、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,2020/5/30,22,例1求解微分方程,微分方程的通解为,解,2020/5/30,23,例2求解微分方程,解,2020/5/30,24,微分方程的解为,2020/5/30,25,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,2020/5/30,26,思考题,方程,是否为齐次方程?,思考题解答,方程两边同时对求导:,原方程是齐次方程.,2020/5/30,27,练习题,练习题答案,2020/5/30,28,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,三、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,2020/5/30,29,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,2020/5/30,30,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,2020/5/30,31,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,2020/5/30,32,解,例1,2020/5/30,33,例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,2020/5/30,34,所求曲线为,2020/5/30,35,解,例3,伯努利(Bernoulli)方程,2020/5/30,36,例4用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,2020/5/30,37,解,分离变量法得,所求通解为,2020/5/30,38,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,2020/5/30,39,思考题解答,思考题,求微分方程的通解.,2020/5/30,40,练习题,2020/5/30,41,2020/5/30,42,2020/5/30,43,练习题答案,2020/5/30,44,第三节可降阶的高阶微分方程,基本解法是：通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,2020/5/30,45,2020/5/30,46,解,代入原方程,解线性方程,得,两端积分,得,原方程通解为,例2,2020/5/30,47,2020/5/30,48,2020/5/30,49,2020/5/30,50,解,代入原方程得,原方程通解为,例4,2020/5/30,51,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一技巧性较高,关键是配导数的方程.,例5,2020/5/30,52,例6.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,2020/5/30,53,小结：三类可降阶的高阶方程,解法：求n次积分即可,2020/5/30,54,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,思考题,2020/5/30,55,思考题解答,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,2020/5/30,56,练习题,2020/5/30,57,练习题答案,2020/5/30,58,第四节二阶线性微分方程解的结构,一、两个函数的线性相关性,二、二阶线性齐次微分方程的解的结构,四、小结思考题,三、二阶线性非齐次微分方程的解的结构,2020/5/30,59,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,2020/5/30,60,定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，,k1y1(x)+k2y2(x)=0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，,其中k1,k2不全为0，,如果存在两个不全为0的常数k1和k2，,使,在区间I上恒成立.,则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.,一、两个函数的线性相关性,2020/5/30,61,即y1与y2之比为常数.,反之，若y1与y2之比为常数，,则y1=ly2，即y1-ly2=0.,所以y1与y2线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数y1=ex，y2=e-x，,如果不是常数则它们线性无关.,例如,线性无关,2020/5/30,62,问题:,二、二阶线性齐次微分方程的解的结构,定理1:,2020/5/30,63,定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，,y=C1y1+C2y2,是该方程的通解，,则,其中C1,C2为任意常数.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,2020/5/30,64,3.二阶非齐次线性方程的解的结构:,2020/5/30,65,解的叠加原理,2020/5/30,66,练习题,练习题答案,2020/5/30,67,第五节二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性齐次微分方程,思考题,二、二阶常系数线性非齐次微分方程,2020/5/30,68,定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,2020/5/30,69,一、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,2020/5/30,70,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2020/5/30,71,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,2020/5/30,72,有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,2020/5/30,73,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,2020/5/30,74,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,2020/5/30,75,小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,2020/5/30,76,思考题解答,令,则,特征根,通解,思考题,求微分方程的通解.,2020/5/30,77,练习题,2020/5/30,78,练习题答案,2020/5/30,79,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二、二阶常系数非齐次线性方程解法,主要讨论:,2020/5/30,80,设非齐方程特解为,代入原方程,2020/5/30,81,综上讨论,2020/5/30,82,特别地,2020/5/30,83,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动目录上页下页返回结束,2020/5/30,84,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例2,2020/5/30,85,思考题解答,设的特解为,设的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,2020/5/30,86,练习题,练习题答案,2020/5/30,87,1、基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,微分方程习题课,2020/5/30,88,通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,2020/5/30,89,(1)可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2)齐次方程,解法,作变量代换,2020/5/30,90,(3)一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,2020/5/30,91,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(4)伯努利(Bernoulli)方程,解法需经过变量代换化为线性微分方程,2020/5/30,92,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程,得,2020/5/30,93,特点,型,解法,代入原方程,得,、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,2020/5/30,94,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,2020/5/30,95,2020/5/30,96,、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,2020/5/30,97,特征方程为,2020/5/30,98,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,2020/5/30,99,典型例题,例1,解,原方程可化为,2020/5/30,100,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,2020/5/30,101,例2,解,原式可化为,原式变为,对应齐方通解为,一阶线性非齐方程,伯努利方程,2020/5/30,102,代入非齐方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,2020/5/30,103,例3,解,代入方程，得,故方程的通解为,2020/5/30,104,例4,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,2020/5/30,105,原方程的一个特解为,故原方程的通解为