数学分析课件第12章

第十二章:含参变量的积分,1含参变量的定积分2含参变量的广义积分3-函数与-函数,1.1积分限是常数的情形1.2积分限是函数的情形,1含参变量的定积分,参变量：,其中变量y与积分变量,x没有关系,叫做参变量。我们的目的就是研究函数的性质。,1.1积分限是常数的情形,定理1若函数在闭矩形，上连续，则函数在区间上连续。,证明：,设y0是c,d中任一点，则,由f(x,y)在闭矩形上连续可得一致,连续，因此，必有0存在，使当,时，对一切都有,从而当,时，,即I(y)在点y0连续。,注：,I(y)在点y0连续可写为：即：可以在积分号下取极限。,定理2,设与都在闭矩形：axb，cyd上连续，则函数,在c,d上具有连续的导函数且,证明：,我们证明上式对任意一点y0c,d都成立。由微分学中值公式知：,当时，有,接下页,因此，必有0存在，使当,时，对一切都有,由在闭矩形上连续可得一致连续，,于是当,时，有,接下页,由此知存在有限，且,再由定理1知在c,d上连续。,注：,可写为,即：可在积分号下求导数,例1：试求函数F(y)=,当y0时的导数,解：,任取很小的0,则在矩形0x1，y1/上，函数ln(x2+y2)及,都连续，则由定理2知,由于0可以任意小，故上式对任何0y+都成立,定理3,设f(x,y)在闭矩形axb，cyd上连续，则必即：,即：积分的顺序可以交换,证明：,用表示矩形axb，cyd，用分点,将分成mn个小矩形用表示面积，用分别表示在上的最大，最小值。则,从而,接下页,同理：，令,且,接下页,由于f(x,y)在上连续，故一致连续，因此，必可将分得充分的细，使在每个小矩形上，都有,故由于可取得任意小，而是常数，故必,故,例2：f(x,y)=cos(x+2y),a,b=0,c,d=0,/2,验证定理3。,解：,1.2积分限是函数的情形,定理4设函数在闭矩形axb，cyd上连续，而(y),(y)在cyd上连续，且a(y)b,a(y)b(cyd),则函数I(y)在cyd上连续。,证明：,需证,积分I(y1)的积分限都是常数，由定理1可知,接下页,另外，,其中,根据(y)(y)的连续性可知，当yy0时，右端0，从而,即证。,定理5,设与都在闭矩形：axb，cyd上连续,又设(y),(y)在cyd上有连续的导函数，且满足a(y)b,a(y)b(cyd),则函数I(y)在c,d上有连续的导函数，且(cyd)。,证明：,则,由积分学中值定理,其中在(y)与(y0)之间,则令yy0，注意到此时(y0),故,接下页,同理可证：,而,则,故当y=y0时，定理中的式子成立。又,故该式对一切cyd都成立。,定理中的式子右端是y的连续函数，故在c,d上连续。,例3：,按下式定义闭区间0x1,0y1上的连续函数k(x,y)=设f(y)在0y1上连续,试证函数满足方程其中0a(A0只依赖于,与y无关),使当AA0时，对一切cyd都有则称积分在cyd上一致收敛。注：在(c,d),c,+)上的一致收敛定义类似。,定理1(一致收敛准则),积分在区间I上(I为闭区间，开区间，无穷区间均可)一致收敛的充要条件是：使当时，对I中一切y都有。(12.2-3),必要性的证明,设在区间I上一致收敛，于是，使当AA0时，对I中一切y都有，因此，当时，,有,充分性的证明,若(12.2-3)条件被满足，由11章中的cauchy收敛准则知，无穷积分都收敛。使当时，对I中一切y都有,保持A固定，让对上式取极限得：,得证。,定理2(优势积分判别法),设存在ax+上的非负连续函数,使对一切ax+中的x和I中的一切y，都有,且积分,收敛，则积分,在I上一致收敛。,证明：,由假定收敛，故使当时，恒有，从而由不等式知：有即证。,例1:证明积分在-0充分小，使得,从而,故积分在0a上非一致收敛。,注：,对于条件收敛的积分不能用外氏判别法来判定其一致收敛性。,其他两种判别法：,1.阿贝尔判别法设关于一致收敛，而a(x,y)对于固定的关于x在a,+)是单调的，且a(x,y)一致有界，则积分关于一致收敛.,2.狄里赫勒判别法,设，而a(x,y)对于固定的关于x在a,+)是单调的，且当x+时，a(x,y)一致趋于0(关于),则积分关于一致收敛。,证明：,由积分学第二中值定理可知:其中,在abel判别法的假定下，必存在使当，都有于是在dirichlet判别法的假定下，必存在使当，都有由于,接下页,故可知当都有,即证。,例3:证明积分在上一致收敛.,证明：由于,故x=0不是瑕点，故只需证明在上一致收敛.由于而函数对于固定的,关于x在上是递减的，且当x+时，一致趋于0(因为,当时)故由dirichlet判别法知积分关于一致收敛。,定理3(连续性)：设f(x,y)在ax0存在，使当|y-y0|时，必有,因此，当|y-y0|时，必有,接下页,注：I(y)在y0的连续性可写为即可以在积分号下取极限。,定理4(积分次序的交换),设f(x,y)在axa0)之值。,解:由于被积函数可表示为定积分：且函数在0x+，ayb上连续，且积分在ayb上一致收敛(因为,而收敛)。故由定理4得：,定理5(积分次序的交换),设f(x,y)在ax+，cyd上非负，连续，则在任何情况下公式都成立。即:或者两端都为+，或者都为有限数且相等。注:若f(x,y)在-x+，-y+上非负，连续，则下式成立:,定理6(积分号下求导数),设和都在f(x,y)在ax+，cyd上连续，又设积分在c,d上收敛，且积分在c,d上一致收敛，则函数I(y)在c,d上具有连续的导函数,且(cyd)。,证明:,令由定理3知F(y)是c,d上的连续函数,对应用定理4,得其中(cud).,接下页,由牛顿莱布尼茨公式的证明过程知函数G(u)=，在cud上可导,且即：且由于F(u)在cud上连续.故原式在cud上连续.注:,即可以在积分号下求导数。,例5:求积分之值.,解：引入含参变量的积分(0+)，要求,由例3知，积分在0+上一致收敛，则在0+上连续，有,当a+时，有,而收敛，故由外氏判别法知：在a+上一致收敛。,接下页,故由定理6知：当a0可取任意小，故上式对一切0+都成立,对上式两端积分得：其中0+,c为待定的常数。由于，0+,接下页,故,则0=+c。故c=，即,0+，故.推论：做代换yx=t，即可得到,（也可用留数理论证明）。,例6:计算Euler-Poussin积分,解：令x=ut，u为任意正数，则,用乘以等式的两端，再对u从0到积分，被积函数在0t0时收敛，故(a,b)的定义域为a0,b0。,积分在aa0，bb0上一致收敛(因为,而收敛)。则(a,b)在aa0，bb0上一致收敛，故(a,b)在a0，b0上连续。,概述：,-函数的性质,性质(a,b)在其定义域a0，b0上连续。性质(a,b)是对称函数,(a,b)=(b,a).证明：令x=1-t，得(a,b)=(b,a),即证。,性质:递推公式成立。,证明：(a,b)=，即证。,注：,当a1,b0时，(a,b)=(a-1,b)。当m,n为正整数时，(m,n)=(m-1,n)=(1,n)=(1,n-1)=(1,1)而(1,1)=1，故(m,n)=,当a0时收敛，故(a)的定义域为a0。性质(a)在其定义域a0上连续。性质递推公式(a+1)=a(a)，(a0)成立。证明：(a+1)=注：当n为正整数时，(n+1)=n(n)=n!(1)；,3.2-函数,而(1)=,故(n+1)=n!。(a)(1-a)=(00)成立。证明：令x=1/(1+y),得(a,