数学分析第1章

数学分析电子教案,重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云62460842shensy,数学,数学,而且是一种思维模式;,不仅是一种知识,而且是一种素养;,不仅是一种科学,而且是一种文化;,能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志.,不仅是一种工具,数学,一、简明数学史,2、初等(常量)数学时期(公元前6001750年)古希腊数学科学地位独立；欧氏“几何原本”确立数学成完整科学；初等几何、算术、代数、三角等成独立学科。,3、高等（变量）数学时期(1750年1820年)笛卡尔创建了解析几何；牛顿-莱布尼兹创建了微积分学；分析学、微分方程、概率论、射影几何取得很大成就。,4、近代数学时期(1820年1945年)非欧几何、集合论导致科学革命；拓扑学、数理逻辑、复变函数、近世代数、泛函分析、微分几何相继问世。,5、科学数学化时期(1945年)原子弹、电子计算机、运筹学、模糊数学、数学建模。马克思：只有成功运用数学时，一门学科才算真正完善。,1、数学萌芽(数形)时期(公元前2000公元前600)贸易、测量、航海的需要而整理形成，如埃及金字塔的建筑。特点：片断、零散、缺乏逻辑、没有形成体系。,1、训练思维的需要（数学是思维体操）；,2、经济与科技发展的需要（科技是第一生产力，数学是科技的基础）；,3、军事斗争的需要（世一战为化学战、世二战为物理战、海湾战争为数学战）；,5、未来从事科学研究的需要（数学位于三大重点基础学科之首，为此硕士研究生入学考分数由100150）。,4、数学是科学技术的载体，为学习后继课程提供必须的数学工具（物理、计算机、电子、机械、经济、运筹、统计、会计等等）；,二、为何要学数学,1、树立自信，亲近数学；,2、抓好四个环节，突出两个重点；,3、重视独立思考，依靠自学取胜；,预习环节,听讲环节,复习环节,小结环节,三、如何学好数学；,四.数学分析简介,数学分析是高等学校数理科学专业的一门专业基础课，通过本课程的教学使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，使学生的思维能力得到锻炼和提高。特别是基于强化基础、偏重一元微积分系统知识的教学，学生应能正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析中常用的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生数学基本功的训练与良好专业素质的培养起着十分重要的作用。,五.数学分析与其它课程关系,数学分析与另外两门基础课（高等代数、解析几何）相互协调，并以其自身为主干构成现代数学各分支的共同基础。几乎所有专业课都需要该课程的支撑。其后续课程主要有实变函数、复变函数、泛函分析、点集拓扑等。它是学习常微分方程、偏微分方程、概率论、数学模型等应用性较强课程必备的直接基础，也对数值计算、数学实验、逻辑学、计算科学等学科的学习有着潜在的深远影响。,六.课程学时与总分,课程总学时224学时，14学分，具体分配如下：第一学期数学分析（1）88学时，5.5学分第二学期数学分析（2）88学时，5.5学分第三学期数学分析（3）48学时，3学分,变量,数学分析的主要内容,数学分析,函数,极限方法,极限论,微分学,积分学,级数论,（单变量和多变量）,工具,基础,中心,对象,对象,变动观点,关系,内容,教材及参考资料,1.教材：数学分析（第三版），欧阳光中，高等教育出版社2.参考资料1）数学分析讲义（第三版），刘玉链等编,高等教育出版社,19922）数学分析学习指导（上、下册），吴良森等编，高等教育出版社，20043）数学分析的思想方法，朱匀华等编，中山大学出版社，19984）吉米多维奇数学分析习题集解答，山东科技出版社，1983,第一章变量与函数,1实数,2函数的概念,3复合函数与反函数,4基本初等函数,1.1实数,一.集合与实数的性质,二.绝对值与不等式,1.我们用符号“”表示“任取”,或“对于任意的”,或“对于所有的”,符号“”称为全称量词.,几个常用符号,2.我们用符号“”表示“存在”.,例：命题“对任意的实数x,都存在实数y,使得x+y=1”可表示为“xR,yR,使x+y=1”,符号“”称,为存在量词.,3.我们用符号“”表示“充分条件”,比如,若用p,q分别表示两个命题或陈述句.,或“推出”这一意思.,则“pq”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立的充分条件.,4.我们用符号“”表示“当且仅当”,比如“pq”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立的充要条件是q成立.,或“充要条件”这一意思.,1.集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.,一.集合与实数的性质,集合的表示列举法把集合的全体元素一一列举出来.例如Aa,b,c,d,e,f,g.描述法若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为Mx|x具有性质P.例如M(x,y)|x,y为实数,x2y21.,几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.,子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.,2.集合的运算设A、B是两个集合,则ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并).ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交).ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差).ACIAx|xA为称A的余集或补集,其中I为全集.,提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.,集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合,则有(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.,(AB)CACBC的证明,所以(AB)CACBC.,xACBC,xAC且xBC,xABxA且xB,x(AB)C,直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合AB(x,y)|xA且yB称为集合A与集合B的直积.例如,RR(x,y)|xR且yR即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.,.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度:b-a,注意:有时常用X,Y等表示不指明是开的或闭的区间.,.邻域:,说明:,对于负实数x,y,若有-x=-y与-x-y,则分别称x=y与xx),4.实数集,两个实数的大小关系,说明:,.自然规定任何非负实数大于任何负实数,定义1,定义2,说明:,说明:,命题1,5.实数的性质,1).实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.,2).实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:ab.,3).实数集的大小关系具有传递性.即若ab,bc,则有ac,实数的性质,5).实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.,6).实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.,实数的性质,例1,证明,例2,证明,1.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量（常数）,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量（变数）.,常量与变量的表示方法：,用字母x,y,t等表示变量.,一、基本概念,.函数的概念,二、函数概念,例圆内接正多边形的周长,因变量,自变量,数集X叫做这个函数的定义域,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应规律.,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,关于函数定义的几点说明:,几个特殊的函数举例,阶梯曲线,例.“y是x的最大整数部分”确定了一个函数y=x,称为取整函数.,例.符号函数,例.狄利克雷函数,例.函数有时可由方程确定.如,例.取最值函数,（5）函数的图象,性质：,（6）函数的相等与不等,注：分清和“函数值的相等与不等”。,例,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.,解：,单三角脉冲信号的电压,例10,解,故,（）单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,三、函数的一些几何特性,有界,无界,1函数的有界性:,2函数的单调性:,当X是区间时称为f(x)的单调区间.,例11,3函数的奇偶性:,偶函数,图形关于y轴对称,奇函数,图形关于原点对称,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,例13,解,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,四、小结,.基本概念常量与变量,实数,区间,邻域,绝对值.,.函数的概念,.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.,一、复合函数,第二节复合函数和反函数,例2：,解：,综上所述,2.复合函数的“分解”：简单函数,二、反函数,例:,1.Def:,根据定义，有,例：,Th.,证明：,注1.函数严格单调仅是存在反函数的充分条件，而不是必要条件。例：,x,y,-1,1,1,2,注2.函数存在反函数与否跟讨论的定义区间有关。,例：,2.函数及其反函数的图像,例：,(2)图像之间的关系：,y,O,x,Fig7,1、指数函数,一、基本初等函数,指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲函数统称为基本初等函数。,第三节初等函数,2、对数函数,3、幂函数,4、三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5、反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数,双曲函数统称为基本初等函数.,6