数值分析与计算方法-第四章-常微分方程数值解法

本章内容4.1数值解法的思想和途径4.2龙格-库塔法4.3单步法的收敛性和稳定性4.4线性多步法4.5一阶常微分方程与高阶方程的数值解法4.6边值问题的差分解法,第四章常微分方程数值解法,一.初值问题,在科学技术中,常常需要求解常微分方程的初值问题.(4.1)大多数工程技术中所遇到的常微分方程不能用标准的解析方法求解给出解析解，有必要研究数值方法求近似解；,只要f(x,y)在a,bR上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L0使对任意定义在R上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述初值问题(Initial-ValueProblem)存在唯一解。,4.1数值解法的基本思想和途径,要计算出解函数y(x)在一系列离散点a=x0x1xn=b处的近似值,节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,数值解法,称这一转化过程为离散化过程，求解初值问题(4.1)有个特点：“步进式”计算（递推）。,实施数值解法手段：初值问题式（4.1）差分方程,二.离散化方法,1差商方法-用差商代替导数,y0=y(x0),称为欧拉公式;欧拉折线法,由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式。,称为后退欧拉公式,用此公式计算yi+1时要用到前两步的信息yi-1,yi，故称为欧拉两步法（公式）或中心欧拉公式。,2积分方法,对在区间x,x+h上积分得：,特别地，当x=xn时，有,再用yn代替y(xn)，便有欧拉公式.,据矩形公式,需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法，而前面的二种算法都是单步法。,3泰勒展开法,假定函数y(x)足够光滑，则将y(x)在点xkTaylor展开,右端只保留h的线性项又可得Euler公式,局部截断误差,再用yn代替y(xn)，便有梯形公式:,据梯形公式,同理，梯形公式的局部截断误差为,三.几个基本概念,预报-校正公式。例如先用Euler公式校正预报得,然后用梯形公式校正，即,已将隐格式转化为显格式了.称为改进Euler公式,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,Ri的主项,后退欧拉法的局部截断误差：,即后退欧拉公式具有1阶精度。,中心欧拉公式局部截断误差：,假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。,y,O,P3,P2,P1,P0,Euler公式的几何意义,x,hf(x0,y0),Y,就是,在,的切线上的一个点,的纵坐标值.,以此类推,例4.1,一.Runge-Kutta法的基本思想,数值计算结果亦表明用二阶的梯形公式校正后精度确实要比一阶的Euler公式要高,那么能否对更多点f(x,y)的值进行组合从而产生更高阶的方法呢？,考察如下差分格式,4.2龙格-库塔法,首先希望能确定系数，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xk,yk)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Step3:将yk+1与y(xk+1)在xk点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,4,3,此即中点方式。此公式称作变形的欧拉公式。,若取则得到另一个龙格库塔法的计算公式：,二.四阶Runge-Kutta法,最常用的是4阶经典龙格-库塔法：,类似地,对f(x,y）的不同点的值进行组合,若设差分格式为,Ci(i=1,2,3,4)，13个未知量，11个方程,三.步长的选取,采用结合误差估计的步长自动选择,以四阶Runge-Kutta方法为例,首先给定一个初始的步长h，,将步长折半为,计算两步有,若假定,有,一.单步法的收敛性,例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为f(x,y)=y,欧拉公式为,对任意固定的x=xi=ih，有,即差分方程的解收敛,4.3单步法的收敛性和稳定性,根据这一结论，判断单步法的收敛性，就归结为证其增量函数能否满足Lipschitz条件。,二.单步法的稳定性,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程,常数，可以是复数,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：由于0,上式总成立，隐式尤拉法绝对稳定收敛。它的收敛性比同阶的显式法的好。,基本思想：,对,不同点的数值进行组合得到了高阶的公式-Runge-,的不同点的函数值分别进行计算。,Kutta公式，但每一步都要对,在计算yk+1时利用已经计算过的的函数值，,。进行适当线性组合，同样可期望得到,收敛阶数较高的差分格式,4.4线性多步法,一.阿当姆斯显式公式,用若干节点处的y及y值的线性组合来近似y(xi+1)。,其通式可写为：,当10时，为隐式公式;1=0则为显式公式。,利用k+1个节点上的被积函数值构造k阶牛顿后插多项式,有,Newton插值余项,/*显式计算公式*/,局部截断误差为：,例：k=1时有,注：一般有，其中Bk与yi+1计算公式中fi,fik各项的系数均可查表得到。,常用的是k=3的4阶亚当姆斯显式公式,二.阿当姆斯隐式公式,Adams显式公式用前面r+1步信息，Adams隐式公式用前面r步信息，都可得到r+1阶方法；既在相同步数的情形下，隐式的Adams公式要比显式的Adams公式精度高。,常用的是k=3的4阶亚当姆斯隐式公式,小于Bk,较同阶显式稳定,Adams隐式公式系数表,三.阿当姆斯预报校正公式,在同步数情形下，虽然Adams隐式公式比显式公式有更好的精度，但隐式公式使用不便，形式上计算yk+1需要解方程。实际应用中,用Adams显式公式先提供一个预报值，然后用Adams隐式公式通过迭代手段不断对进行校正，这样就构成了Adams预报一校正公式。,亚当姆斯预测-校正系统,Step1:用Runge-Kutta法计算前k个初值；,Step2:用Adams显式计算预测值；,Step3:用同阶Adams隐式计算校正值。,注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta法配合4阶Adams公式。,4阶Adams隐式公式的截断误差为,Predictedvaluepi+1,Modifiedvaluemi+1,Correctedvalueci+1,Modifiedfinalvalueyi+1,外推技术/*extrapolation*/,一.一阶方程组,一般形式为：,前述所有公式皆适用于向量形式。,4.5一阶方程组与高阶方程的数值解法,高阶微分方程,化作一阶微分方程组求解。,引入新变量,初值条件为：