数学课程标准解读讲座

数学课程新标准解读,主讲人：周其明皖西学院应用数学学院副教授2013.3,案例：有关中美教育的预言二十五年前，内地曾有一个考察团，去美国考察初级教育。回国后，考察团写了一份三万字的报告，在见闻录部分，有四段文字：学生无论品德优劣、能力高低，无不趾高气扬、踌躇满志，大有“我因我之为我而不同凡响”的意味。小学二年级的学生，大字不识一斗，加减乘除还在扳手指头，就整天奢谈发明创造，在他们手里，让地球掉个头，好像都易如反掌似的。重音、体、美，而轻数、理、化。无论是公立还是私立学校，音、体、美活动无不如火如荼，而数、理、化则乏人问津。课堂几乎处于失控状态。学生或挤眉弄眼，或谈天说地，或翘着二郎腿，更有甚者，如逛街一般，在教室里摇来晃去。结论：美国的初级教育已经病入膏肓，可以这么预言，再用二十年的时间，中国的科技和文化必将赶上和超过这个所谓的超级大国。,在同一年，作为互访，美国也派了一个考察团来中国。他们在看了北京、上海的几所学校后，也写了一份报告，在见闻录部分，也有四段文字：中国的小学生在上课时喜欢把手端在胸前，除非老师发问时，举起右边的一只，否则不轻易改变。中国的学生喜欢早起，七点钟之前，在中国的大街上见到最多的是学生，而且他们喜欢边走路边用早点。中国学生有一种作业叫“家庭作业”，据一位中国老师解释，它的意思是学校作业在家庭的延续。中国把考试分数最高的学生称为学习最优秀的学生，他们在学期结束时，一般会得到一张证书，其他人则没有。在报告的结论部分，他们是这么写的：中国的学生是世界上最勤奋的，在世界上也是起的最早、睡的最晚的；他们的学习成绩和世界上任何一个国家的同年级学生比较，都是最好的。可以预测，再用二十年的时间，中国在科技和文化方面，必将把美国远远地甩在后面。,二十五年过去了，美国培养了56位诺贝尔获奖者，中国刚有一位（莫言）。莫言（1955年2月17日），原名管谟业，生于山东高密县，中国当代著名作家。香港公开大学荣誉文学博士，青岛科技大学客座教授。,第一讲数学观第二讲数学教育观第三讲数学课程标准的基本理念第四讲数学课程内容第五讲数学教学活动第六讲数学教育评价,第一讲数学观一、科学意义下的数学观二、文化意义下的数学观三、新课程下的数学观,第一讲数学观因此，问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。如果不正视数学的本质问题，便解决不了教学上的争论。Hersh,1979教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的典型方式存在着一致性，这有力地说明了教师的数学观、数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动。Thompson,1984,一科学意义下的数学观1.什么是数学?(1)数学是量的科学。公元前4世纪希腊的哲学家亚里士多德(公元前384年前322年),（2）“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。19世纪恩格斯,（3）现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学。20世纪50年代前苏联的数学家（数学）这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。20世纪80年代美国的数学家,人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。张顺燕数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明：自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。数学提供了有特色的思考方式：抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究：符号化：把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。这是自然科学公有的思考方式，以数学为最。公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。归纳与演绎并用。最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。建立模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，并化为数学问题。,关于数学的本质：柏拉图主义数存在于理念世界,唯名论观点数是纸上的符号或头脑中特定的概念康德（1724-1804）：数是思维创造的抽象实体,约定论的观点数学规则不过是人的约定逻辑主义算术是逻辑的一部分,伯特兰罗素（1872-1970）学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。,直觉主义数学概念是自主的智力活动,形式主义把数学化为关于有限符号排列的操作希尔伯特，D.(Hilbert,David，18621943),2.关于数学发展的分期（1）数学的起源和早期发展（公元前6世纪前）（2）初等数学时期常量数学时期（公元前6世纪16世纪），包括：古代希腊数学（公元前6世纪6世纪）；中世纪东方数学（3世纪15世纪）；欧洲文艺复兴时期（15世纪16世纪）,欧几里得(Euclid,公元前330年前275年)几何原本,“算法家”与“算盘家”的比赛韦达（1540-1603）,笛卡尔(R.Descartes,1596-1650),解析几何的伟大意义表现在什么地方呢？（1）数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。（2）以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础。（3）使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声。（4）代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚。它带来了认识新空间的需要。帮助人们从现实空间进入虚拟空间：从三维空间进入更高维的空间。（5）代数几何的发祥。高次曲线的研究成为可能。,（3）近代数学时期（变量数学建立时期，17世纪18世纪）（4）现代数学时期（1820现在）包括：现代数学酝酿时期（18201870），现代数学形成时期（18701840），现代数学繁荣时期（或当代数学时期，1950现在）,高斯（C.F.Gauss,1777-1855）,波约尓(1802年12月15日1860年1月27日）匈牙利数学家。,罗巴切夫斯基（1792年12月1日1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。,伽罗瓦(1811-1832),阿贝尔(1802-1829),非欧几何创立的意义：（1）非欧几何的创立使人们开始认识到，数学空间与物理空间之间有着本质的区别。但最初人认为这两者是相同的。这种区别对理解1880年以来的数学和科学的发展至关重要。（2）非欧几何的创立扫荡了整个真理王国。在古代社会，像宗教一样，数学在西方思想中居于神圣不可侵犯的地位。数学殿堂中汇集了所有真理，欧几里得是殿堂中最高的神父。但是通过鲍耶、罗巴切夫斯基、黎曼等人的工作，这种信仰彻底被摧毁了。非欧几何诞生之前，每个时代都坚信存在着绝对真理，数学就是一个典范。现在希望破灭了！欧氏几何统治的终结就是所有绝对真理的终结。（3）真理性的丧失，解决了关于数学自身本质这一古老问题。数学是像高山、大海一样独立于人而存在，还是完全人的创造物呢？答案是，数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。（4）非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理体系，只要这种研究具有一定的意义。,第二种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼黎曼用“过直线外一点，不能作直线和已知直线平行”来代替第五公设，从而产生了黎曼的非欧几何,黎曼于1826年9月17日，出生在德国的一个农村。19岁到哥廷根大学读书，成为高斯晚年的一名高才生。哥廷根大学在后来的100多年里一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后留校任教。15年后（1866年）死于肺结核。他在1851年所作的一篇论文论几何学作为基础的假设中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在。,康托尔(18451918),3.数学发展史上的四个高峰日本数学家、第九次国际数学教育大会主席腾田宏教授：（1）古希腊的演绎数学时期（2）牛顿莱布尼兹的微积分时期（3）希尔伯特为代表的形式主义公理化时期（4）以计算机技术为标志的新数学时期,希腊文化给人类文明留下了什么样的珍贵遗产呢？它留给后人四件宝。第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透的人类知识的一切领域。第三，它给出一个样板欧几里得几何。这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落。第四，它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究奠定了基础。,牛顿：IsaacNewton1643.1.1727.3,莱布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz，1646-1716),牛顿：IsaacNewton1643.1.1727.3,二次世界大战后，数学的面貌呈现四大变化：（1）计算机的介入改变了数学研究的方法，大大扩展了数学研究的领域，加强了数学与社会多方面的联系。例如，四色问题的解决，数学实验的诞生，生物进化的模拟，股票市场的模拟等。（2）数学直接介入社会，数学模型的作用越来越大。（3）离散数学获得重大发展。人们可以在不懂微积分的情况下，对数学作出重大贡献。（4）分形几何与混沌学的诞生是数学史上的重大事件。,4.数学中心的迁移史（1）在古代（公元5世纪以前）数学发展的中心地带：东起地中海沿岸的希腊、埃及、巴比伦以及阿拉伯、印度、中国等地区；特点：希腊的三角学、埃及的平面几何、巴比伦的初等代数和中、印的算术。（2）在中世纪时期（公元6世纪15世纪），尤其是黑暗的公元6世纪11世纪时期，数学仅有一些自发性发展。中心：已移至中欧和西欧如德、法、意等地；主要贡献：代数上的三次、四次方程的求根公式（意）和韦达定理（法）的发现。,（3）在近代（16世纪以后）数学中心进一步西移，主要地区：波、德、法、西、英等国；贡献：微积分（英、德），对数（英）、解析几何（法）等。（4）近现代（上世纪末以来），中心于本世纪初开始横渡大西洋移到了美国。自近代以来，美国和西欧都属于中心区。特别在现代（20世纪60年代以来），这个中心区更加西扩到了日本乃至东亚和东南亚。,总之，从地图上看，在两千多年的数学史中，数学的中心自中、印、巴比伦、希腊乃至中欧、西欧、美国、日本、东南亚，自东向西移动和扩展，最终成为一个基本上落在北纬3040（仅北欧超出一点）内的封闭环带。A.N.Rao：一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量。,5.数学的基本发生图,二文化意义下的数学观王国维在人间词话中说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。”R.柯朗数学是什么：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推进，共性和个性。”1.万物皆数说毕达哥拉斯：数统治着宇宙。,PythagorasofSamosB.C.572B.C.497,毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。x2+y2=z2,万物皆数,2.哲学说B.Demollins：没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。哲学，在某种意义上是望远镜，数学是显微镜。2000年世界数学年的里约热内卢宣言：纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。,3.符号说伽利略：宇宙是永远放在我们面前的一本大书如果不首先掌握它的语言和符号，就本能理解它。这本书使用数学写的，它的符号是三角形、圆其它图形，不借助于它们就一个字也看不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅。,伽利略(15641642),4.科学说培根：数学是科学的大门和钥匙。夏尔斯：数学是最精密的科学，它的全部结论都能绝对地证明。爱因斯坦：正是数学给了各们精密自然科学一定程度的可靠性，没有数学，它们不可能获得这样的可靠性。,爱因斯坦最杰出的贡献莫过于他的质能守恒方程和相对论的提出。他的理论改变了整个世界对于重力、空间和时间的认知。1921年，爱因斯坦获得了诺贝尔物理学奖，,爱因斯坦（18791955），美籍德国犹太人。他创立了代表现代科学的相对论，并为核能开发奠定了理论基础，在现代科学技术和他的深刻影响及广泛应用方面开创了现代科学新纪元，被公认为自伽利略、牛顿以来最伟大的科学家、思想家。1921年诺贝尔物理学奖获得者。现代物理学的开创者和奠基人，相对论“质能关系”的提出者，“决定论量子力学诠释”的捍卫者（振动的粒子）不掷骰子的上帝。1999年12月26日，爱因斯坦被美国时代周刊评选为“世纪伟人”。,5.工具说P.A.M.狄拉克：数学是特别适于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域内它的力量是没有限度的。怀特海：代数是搞清世界数量关系的智力工具。,6.逻辑说逻辑主义观点：数学概念是可以借助逻辑概念定义给出，而数学定理都可以借助逻辑公里原则推出。AugustusdeMorgan:数学和逻辑是精确科学的两只眼睛。,7.创新说汉克尔：在大多数科学里，一代人要推倒另一代所建筑的东西只有数学，每一代人都在旧建筑上增添一层楼。,8.直觉说直觉主义认为：数学是人类心智的自由创造活动功能的产物，它的来源是人的直觉。M.Klein：数学主要是由那些能力在于直觉方面而不在于逻辑的严密性上的人们所推经的。,庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。”(法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。)英国数学家阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。”,9.集合说格利奇：今日的数学是以集合论为基础，每一个数学概念都用集合来描述，并且所有的数学关系都被表示为某种集合之间的连锁式的成员资格关系。,10.结构说（关系说）怀特海：数学的首创性在于数学科学展示了事物之间的联系。张奠宙：数学是一门关系学。拉普拉斯在谈到行列式和矩阵时说：这就是结构好的语言的好处，它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。,11.模型说微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是超维空间的模型雷尼：甚至一个粗糙的数学模型也能帮助我们更好地理解一个实际情况C.B.Allendoerfer：当今最令人兴奋的发展是在社会科学和生物科学中数学模型的构造。,12.活动说波塞尔：数学是人类的一种活动。我相信数学是人类最重要的活动之一，它不止是一种游戏，尽管我们喜欢它；它不止是一种艺术，尽管有时它是一种至高无上的艺术。它并不像哲学家所想象的是无聊的一小步一小步推理组成的长链。数学是发现非常深刻的、出人意料的定理和永恒而实际的科学。,13.精神说Proclus：数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智慧；她给我们的内心思想增添光辉；她涤尽我们有史以来的蒙昧与无知。,ArbuthnotJohn：数学能唤起热情而抑制急躁，净化灵魂而使之杜绝偏见与错误。恶习乃是错误、混乱和虚伪的根源，所有的真理都与此抗衡。而数学真理更有益于青年人摒弃恶习。M.Klein：他反对仅把数学当成一种技巧，因为技巧远不能代表数学的内涵的，这就比如调配颜色远不能当作绘画一样，而技巧只是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥夺后的那种东西。,M.Klein,14.审美说普罗克拉斯：哪里有数，哪里就有美。庞加莱：数学家非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风，那么，究竟怎样的一种解答或证明算是优美呢？这就是各部分之间的和谐、对称以及恰到好处的平衡等。一句话，就是井然有序、统一协调。,庞加莱：一个名符其实的科学家，尤其是数学家，在自己的工作中，应当体现到一种与艺术家共有的感觉，其乐趣和艺术家的乐趣之间存在着一种共同的性质，一种同样伟大的力。罗素：数学，如果正确的看待它，则不但拥有真理，而且还具有至高的美，这是一种雕塑式的冷而严肃的美，这种美既不投合人类之天性的微弱方面，也不具有绘画或音乐的那种华丽的装饰，而是一种纯净而崇高的美，以致能够达到一种只有伟大的艺术才能显见的那种完美的境地。,JulesHenriPoincare，18541912)是法国著名的数学家、天文学家、物理学家和科学哲学家,中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天大宇宙；地，自然界及其中一切动植物中宇宙；人最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。”数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。,达芬奇创作了许多精美的透视学作品。这位真正富有科学思想和绝伦技术的天才，对每幅作品他都进行过大量的精密研究。他最优秀的杰作都是透视学的最好典范。“最后的晚餐”描绘出了真情实感，一眼看去，与真实生活一样。观众似乎觉得达芬奇就在画中的房子里。墙、楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细选择的光线集中在基督头上，从而使人们将注意力集中于基督。12个门徒分成3组，每组4人，对称地分布在基督的两边。基督本人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于，表达基督的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态。附图中给出了原画及它的数学结构图。,15.艺术说哈代：如果数学有什么权利存在的话，那只有作为艺术而存在。A.波莱尔：数学只是一门艺术，或者只是一门科学、科学的皇后，只是科学的仆人，或者甚至是艺术与科学的结合。A.波莱尔：数学是一门艺术，因为它主要是思维的创造，靠才智取得进展，很多进出出自人类脑海的深处，只有没学标准才是最后的鉴定者。,三新课程下的数学观数学教师的数学观就是对数学的基本看法的总和。包括对数学的哲学认识，关于数学的事实、内容、方法，对数学的科学价值、社会价值和教育价值的认识与定位，以及对数学全方位的、多角度的透视。概括看来，数学教师的数学观主要包括数学知识观、数学本质观和数学价值观3部分。,1.数学知识观数学知识观主要包括必备的、一定质量与数量的数学知识、技能、能力、数学思想方法和对数学知识的总体看法两部分。后者接近于数学本质观的知识层面，但较多地停留在素朴层面上。从横向看，数学教师的数学知识及其观念与其他科学知识一起共同构成了数学教师的整体知识结构。单纯的数学知识观不足以构成数学教师的必备知识素质。从纵向看，数学教师知识观除了要具备一定的数学史知识沉淀，并对现代数学知识、方法有一个基本的了解之外，还要关注数学未来的发展。,例如，作为中学数学教师，不能仅仅满足于熟悉并掌握中学数学的知识和内容，还要对高等数学的基本知识和体系有一个通彻的了解，要能建立不同知识之间的联接，能够形成统一的数学知识观。只有这样，才能高屋建瓦，对所教授的数学知识有一个更为广深的知识背景。因此，必要的、优化的、关联的、动态的数学知识观就是一个优秀的数学教师必备的专业资质之一。,2.数学本质观数学本质观是指人们在数学知识观的基础上形成的关于数学本质的认识。数学本质观是数学观的哲学基础和文化基础。如19世纪末20世纪初产生的形式主义、直觉主义、逻辑主义数学观。,3数学价值观数学价值观是在一定数学本质观念的基础上，对数学的科学价值、文化价值、社会价值、历史价值和其他价值的判断和认识。要了解数学对社会发展的作用、对人类文明进步的影响；对物质文明和精神文明的贡献；数学在科学发展中的作用；数学在科学思想体系中的地位；数学与其他科学的关系。,4中国数学教师数学观的特点及其转变“自然主义+实用主义+科学主义”“自然主义”是指缺乏直觉深入的哲学思考和理性概括的，而仅仅保持一种对于数学的素朴的、感觉的、经验的和直观的印象。实用主义和功利主义的数学观则集中体现了对于数学的现实主义和工具主义价值取向。科学主义的数学观则是传统科学观和工具理性思想倾向造成的。,为了适应21世纪教育发展对高素质教师的要求，数学教师必须更新数学观念（1）教师要加深关于数学基本性质、数学知识的历史演变过程的认识和理解；（2）要有数学知识观（包括初等数学和高等数学）；（3）要具备一定的数学化和数学思想方法的观念；（4）要具有初步的关于数学的哲学社会文化观念；以及数学的价值、应用和技术的观念。,并在上述基本观念的基础上实现观念的下述转变：从静态的、形而上学的、功利主义的和科学主义的数学观向动态的、辩证的、发展的、建构的、人文主义和科学主义相结合的数学观的转变。,第二讲数学教育观,Thom,1971年：事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即使是很不规范的教学法也如此。,数学教育观是人们关于数学教育本质认识的集中体现。由于数学教育不仅要考虑问题的数学层面，还有考虑问题的教育层面。在历史上，不同的数学范式，不同的文化关于数学教育的观念具有很大的差异。即使在同一文化的不同历史时期，数学教育的基本观念也有很大的变化。在观念层面，决定特定文化背景下数学教育观的两大因素是，当时占据主流地位的数学观和当时被普遍接受的教育观。,一.数学教育观的历史回眸（PaulErnest）1.严格训导的数学教育观其数学观的特点：强调数学是一个严格的真理体系，数学是由固定的规则构成的。其数学教育观认为：能力是由遗传因素所决定的，这种能力可以通过教育获得实现。其实施以教师为中心。要求教师通过对学生实施严格的纪律约束实现教学目标：在教学观念方面，强调严格传授和强迫学习；在学习方式上，严格训导派重视书面习题练习和机械学习。,2.技术实用主义的数学教育观其特点是把数学看作是无异议的有用知识体，其价值标准是实用主义。技术实用主义对教学的看法是强调技能学习，认为激发学生学习的核心在于“教学艺术”，即技术与教育相适应的教学。在数学教育界提倡技术实用主义的群体坚持数学教学的功利性，在这种数学教学目的的支配之下，技术实用主义表现出对数学技能，例如信息技术培训的热衷以及对应用数学和数学建模的倡导。,3.旧人文主义的数学教育观旧人文主义的数学观是绝对主义的，表现为把数学看作是基于理性和逻辑的结构化的纯知识体。旧人文主义把推理、理性和逻辑视为数学认识的核心，强调数学的结构、概念层次、严密性以及数学的文化价值。在数学教学活动中强调把数学当作一个广泛结构化的知识体加以理解和接受。其中，教师的作用在于有意义的讲授和解释。通过多种教学方法和良好的师生关系，使学生经过深入的学习，理解并欣赏纯数学的知识和美学价值。,4.进步教育派的数学教育观在数学观方面，进步教育派依然是以绝对主义为基底，表现为把数学看作是绝对的必然真理。但在绝对主义的数学认识中，进步教育派也有其进步的一面，表现为认为数学作为一种语言是主观知识、是人对真理的逐步接近以及突出个人在真理认识过程中的作用等。进步教育派把数学的教育目的定位于，通过数学学习，促进人的全面发展，培养儿童的创造性和自我实现精神。进步教育派承认个体数学能力之间存在差异，倡导精心组织的教学情境，鼓励学生的自主探究和学习方法的多样性。,5.大众教育派的数学教育观大众教育观的基本理念：“为所有人的教育”，提出“为大众的数学”的口号。大众教育观的数学观定位于可误主义和社会建构主义，并认为大众教育的数学课程反映了数学的社会建构本质，充分体现了社会在内的全面教育意义。在数学教学与学习方面，大众教育采纳了维果斯基等人提出的建构主义观点。大众教育倡导诸如问题提出、师生互动、小组学习、自主探究、研究性学习、开放式教学等教学或学习方式。通过数学教学的改革，进一步培养学生的创新思维、解决问题的能力和实践能力。,二.数学教育观的不同视角1.数学教育通观数学教育观是指贯穿于数学教育整个过程的重要基本观念。它可以具体划分为数学教育目的观、数学教育知识观、数学教育课程观、数学教育教学观、数学教育学习观、数学教育人才观与评价观。,（1）数学教育目的观通过数学教育，我们期望学生获得些什么？具体地看，学生在数学的观念、知识、能力、素质等方面应该达到一个怎样的水平？概括起来，数学教育的目的观要解决的是为什么教的问题。,（2）数学教育知识观包括数学教育的知识形态和知识特征以及数学教育知识何以可能的问题。例如，数学教育研究的成果是发现还是发明？还是兼而有之？必须看到的是，数学教育的知识形态具有社会性、历史性、主观性、客观性甚至政治性。在数学教育的知识形态中，哪些成分是相对稳定的？哪些成分是较易变化的？决定数学教育知识的主要变量是什么？其中哪些是可控制的？哪些是不易控制的？,数学教育知识还有一个限定性问题，即知识的有效性范围，例如并不存在普适的对于大、中、小学生都有效的教学方法；再例如，由于不同教育阶段数学的知识特征不同，因此要考虑到数学认知结构与心理发展的谱系性。最后是数学教育知识的合法化问题，包括数学教育的知识验证和论证问题。例如，数学教育的知识是怎样获得的？数学教育知识的可靠性是由什么保证的？数学教育共同体在数学教育知识的评价中起着怎样的作用？,（3）数学教育课程观我们应该给学生教些什么样的数学知识？社会对数学的需求可以在何种程度上在数学课程的设计中得以体现？哪些数学知识是基础的和必需的？这些数学知识应该以怎样的方式加以组织并用什么形式加以呈现？概括起来，数学教育课程观要解决的是教什么的问题。,（4）数学教育教学观数学教学活动的本质是什么？教师在教学活动中的作用是什么？教师应该如何有效地开展教学活动？概括起来看，就是如何教的问题。（5）数学教育学习观数学认知的本质是什么？数学学习的本质是什么？数学知识是如何被学生掌握的？概括起来看，即如何学习的问题。（6）数学教育人才观与评价观什么样的人才是需要的和合格的？教的效果如何？概括起来看，即教得怎样的问题。在信息技术条件下，还有必要考察诸如数学教育媒体观的问题。,2.数学教育文化观数学教育的文化观可以看做是数学教育哲学观的一个扩大的视角。具体看来，它应该包括数学作为一种文化的观念对数学教育的影响和作用以及数学教育与整体文化的相互关系这两个基本内容。,3.数学教育价值观数学教育价值观包括以下几个层面：一对社会进步、科技发展的重要价值和作用。二对培养数学人才和合格建设者的重要性。三对数学教育行为的重要作用。四是要对数学问题解决、数学证明与推理、数学直觉、数学方法等的意义、作用、价值有深刻的理解。五是要看到数学教育价值的多样性特点，要对数学和数学教育的作用有一个客观、全面的评价。,三、新课程下的数学教师的观念更新和角色转换面对课程改革和提高自身教学素质以及提升职业竞争力的共同要求，数学教师应该树立以下新的数学教育观念，并对自身角色进行重新定位和转换。（1）是对数学教学观、数学学习观、数学活动观和数学教育评价观的重新认识。（2）是数学教师不应仅仅是优秀的传授者，还要成为数学教育的研究者。这就要求教师不仅仅是知识的传授者，而且还应该是知识的创造者。,（3）是数学教师应完成从知识的传输者向知识的解释者的转换，从至高无上的知识的终极权威向知识的形成建构过程的展示者转换。（4）是数学教师应从学生数学思想方法和学生思维活动的决定者、控制者向引导者、参与者的转变，从数学教学管理方式上的管理者、灌输者、命令者向合作者、质询者、对话者的转变。,（5）是无论在课程设置、教材处理还是教学过程中，教师都要对教学有一个横向的透视，而且要有纵向的穿透。（6）是数学教师应具备初步的数学教育哲学思想。,第三讲数学课程标准的基本理念,一、新课程及基本理念1.新课程课程是指学校学生所应学习的学科总和及其进程与安排。广义的课程是指学校为实现培养目标而选择的教育内容及其进程的总和，它包括学校老师所教授的各门学科和有目的、有计划的教育活动。狭义的课程是指某一门学科。,新课程观认为课程不仅是知识，同时也是经验，是活动。（1）课程即教材课程内容在传统上历来被作为要学生习得的知识来对待，重点放在向学生传递课程知识这一基点上，而知识的传递是以教材为依据的。所以，课程内容被理所当然地认为是上课所用的教材。这是一种以学科为中心的教育目的观的体现。教材取向以知识体系为基点，认为课程内容就是学生要学习的知识，而知识的载体就是教材，其代表人物是夸美纽斯。,（2）课程即活动这种课程的主要代表人物是杜威。杜威认为“课程最大流弊是与儿童生活不相沟通，学科科目相互联系的中心点不是科学，而是儿童本身的社会活动”。通过研究成人的活动，识别各种社会需要，把它们转化成课程目标，再进一步把这些目标转化成学生的学习活动。这种取向的重点是放在学生做些什么上，而不是放在教材体现的学科体系上。以活动为取向的课程，注意课程与社会生活的联系，强调学生在学习中的主动性，是一种探究性的教学。,（3）课程即经验在泰勒看来课程内容即学习经验，而学习经验是指学生与外部环境的相互作用，他认为“教育的基本手段是提供学习经验，而不是向学生展示各种事物。”这种观点强调学生是主动参与者，学生是学习活动的主体，学习的质和量决定于学生而不是课程，强调学生与外部环境的互相作用。教师的职责是构建适合学生能力与兴趣的各种情境，以便为每个学生提供有意义的经验。,新课程性质义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。,2.新课程理念所谓理念是一个人所具有的准备付诸行动的信念，是人们在对某事物现实的深刻分析和未来的展望的基础上所形成的。新课程理念是课程设计者蕴含于课程之中，需要课程实施者付诸实践的教育教学的理念，它是课程的灵魂和支柱。,1.课程目标-数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。（删“人人学有价值的数学”）,2.课程内容-课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。,3.教学活动-教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。,学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。,4.教学评价学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。,5.信息技术-信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。,二、新课程理念的两大支撑点以人为本、建构主义1.“以人为本”新课程发展核心理念含义有三：（1）面向每位学生（2）课程要着眼于学生的发展定位问题（3）关注学生全面、和谐的发展,2.“建构主义”新课标构建、理解、实施的心理学基础,三、新课标中突出强调的要发展的几种能力（实验稿中：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力；新课标中：数感、符号观念、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。）,（一）发展学生的符号意识标准指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”与实验稿相比，标准强调培养学生运用符号表示数、数量关系和变化规律的能力，突出了培养学生运用符号进行数学思考和数学表达的能力。在运用符号的过程中，学生的思维经过“具体的事物使用符号学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。,培养学生符号意识，可以从以下几方面实施。1.了解数学符号的特点和发展历史，让学生了解符号的重要价值2.利用生活经验，诱发学生的符号意识3.分阶段、有重点地逐步培养和发展学生的符号意识第一，运用字母表示数；第二，运用符号进行运算和推理；第三，在上述过程中，让学生逐步感受符号高度的集约性、抽象性、丰富性和精确性以及数学结论的一般性。,（二）发展学生的几何直观几何直观是指利用图形描述几何或者其它数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。几何直观能力主要包括空间想象能力、直观洞察力和用几何语言来论证、思考问题的能力。,1.注重直观，强调学生的动手实验能力的培养（1）运用直观教具，提供感性认识。根据学生的年龄特征和认知结构，在教学中通过各种形式的感知，为他们提供一定的直接经验和感性认识，选择直观教具进行感知是常用的一种教法。（2）重视实验，提高学生的动手能力。实验是几何直观性教学的重要组成部分，通过实验可以帮助学生逐步形成概念，增强对新知识的感性认识。（3）利用形象语言，帮助理解和识记。教学是一门艺术。教学艺术主要体现在对教学语言及教学方法的驾驭和运用上。2.注重思想方法，培养学生数形结合的思想,（三）发展学生的空间观念1.空间观念概述空间观念的主要表现为能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握。,2.空间观念形成的方法（1）学生经验是发展空间观念的基础（2）发展空间观念的途径应多样化（3）空间观念应在发展过程中逐步形成（4）空间观念需要自主探索与合作交流的氛围,（四）发展学生的推理能力1.推理能力概述判断是“对事物的情况有所断定的思维形式”。“由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式”叫做推理。“推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等”。2.推理能力的培养,如何实现这些要求，达到培养学生的推理能力的目标呢？（1）把推理能力的培养有机地融合在数学教学的过程中（2）把推理能力的培养落实到标准的四个内容领域之中（3）通过学生熟悉的生活发展学生的推理能力（4）培养学生的推理能力，要注意层次性和差异性,第四讲数学课程内容,数学的语言特征：（1）母体语言（2）图形语言（3）符号语言,一数与代数（一）概述“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。,教育价值主要体现在以下几个方面：（1）能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系，认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言，方程、不等式与函数是现实世界的数学模型，从而认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，从中感受到数学的价值，初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用意识，培养初步的应用能力。,（2）在“数与代数”的学习过程中，通过对现实世界中数量关系及其变化规律的探索，数的概念的建立、扩充以及数的运算，公式的建立和推导，方程的建立和求解，函数关系的探究等活动，促进学生对数学学习的兴趣，提高解决问题的能力和自信心，培养学生初步的创新意识和发展能力。,（3）在“数与代数”中，不仅知识中存在着对立和统一（例如，正数与负数、加法与减法、乘方与开方、常量与变量、精确与近似等），而且研究过程中也充满了对立与统一（例如，已知与未知、特殊与一般、具体与抽象、实践与理论等）。同时，在变量和函数的研究中还充满着运动、变化的思想，而且在“数与代数”的其他部分的研究中，从运动和变化的观点来考察，也能使认识更加深刻。因此，这部分的学习，必将有助于培养学生的辩证唯物主义观点，有利于学生用科学的观点认识现实世界。,（二）课程内容设置的功能1.强调通过实际情境使学生体验、感受和理解数与代数的意义2.增强应用意识，渗透数学建模思想3.加强学生的自主活动，重视对数与代数规律和模式的探求4.重视计算器和计算机的使用,（三）课标知识重点梳理1.数和运算2.事物的数量关系或变化规律3.结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析4.根据给出的有正比例关系的数据在有直角坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值5.结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测6.解释一些简单代数式的实际背景或几何意义7.用观察、画图或计算器等手段估计方程解8.用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系9.推理,(四)2012年9月新课程标准教材“数与代数”领域主要变化1、增加的内容（1）对（表示有理数）的一般性讨论。（2）最简二次根式的概念及化简。（3）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。（4）会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为的形式。（5）“一元二次方程的根与系数的关系”“三元一次方程组”“不共线三点的坐标确定二次函数的表达式”作为选学内容。（6）“二分法”作为“读一读”的内容。,2、减少的内容（1）去掉有效数字。（2）去掉“一元一次不等式组”的应用。,3、内容编排上的变化（1）整合原七年级上册“合并同类项”、“去括号”以及原七年级下册“整式的加减”的内容，整体安排在七年级上册。（2）原七年级“认识100万”、“认识百万分之一”等相关内容，不再单独成节，而是将相关内容渗透在有关数的运算内容之中。（3）探索与表达规律的内容有所加强。（4）无论是方程、不等式、函数的内容，都首先突出从总体上进行认识，然后再到具体概念及性质、方法。（5）九年级下册二次函数“何时获得最大利润”一节和“最大面积是多少”一节调换顺序。（6）为避免内容重复，去掉原七年级上册一元一次方程中“日历中的方程”一节。,4、难度方面的变化（1）难度降低的有：不再求有效数字，不要求解一元一次不等式组的应用题。（2）按照多数实验区的要求，有理数运算、根式化简的运算量有所增加。（3）由于增加了对的一般性讨论，因此对绝对值认识的要求有所提高。（4）对于增加的选学内容，如“三元一次方程组”、“不共线三点的坐标确定二次函数的表达式”、“一元二次方程的根与系数的关系”等，在复杂性上并没有做过多的文章，而且仅仅针对部分学生，也不一定增加学习难度。,5、其他方面的变化（1）进一步优化一些原有问题情境。（2）加强代数抽象性与几何直观的结合。除继续保留对乘法公式的几何表示外，还在因式分解的内容中增加图形直观与因式分解的联系的内容，突出几何直观的作用。另外，在方程和函数的关系的相关内容中，数形结合、代数与几何结合的作法也更加明确。（3）更加清晰展示数学思想方法。一些常用的思想方法，如类比、归纳、化归、逻辑推理等，在概念、性质、算法、应用的学习中，教材都力争做到有渗透、概括和提升。,（4）关注学生在“数感”、“符号意识”、“模型思想”等方面的发展。对于“大数”、“小数”的感受和认识虽不再单独成节，但都渗透在数的运算过程中，如在正整数指数幂运算中感受“大数”、在负整数指数幂运算中感受“小数”。继续使学生在代数式、整式、分式、方程、不等式、函数的学习中，将情境与符号表示相联系，如在变量之间的关系中增加了语言与表达式之间转化的内容等，以发展“符号意识”和模型思想。（5）关注学生提出问题能力的培养及应用能力的提高，数学活动（问题）的设计，开放性有所加强。如计算某种饮料罐的容积，并将计算结果与商标上的数据进行比较等。（6）增强内容表述和例题书写的规范性。如实验几何阶段说理的表达形式等。,二、图形与几何（一）概述“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。,20世纪80年代以来，“几何”拓展为“图形与几何”是数学课程改革的一种国际趋势，其主要特征为：（1）强调几何建模过程“图形与几何”由于其自身的特点，较之其他的数学建模更加直观、形象，更易于从现实情境中抽象出数学的概念、理论和方法。,（2）几何推理的要求发生变化推理既有合理推理，也有演绎推理。20世纪80年代以来，国际数学教育对几何推理的要求相应地发生了变化，其普遍趋势是：从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理，更多的强调从具体情境或前提出发进行合情推理；从单纯强调几何的推理价值转向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、实验、探索、合情推理等方面“过程性”的教育价值。（3）“图形与几何”内容的整合20世纪80年代以来，各国的数学教学普遍把平面几何和立体几何的内容进行整合，更多地采用直观和非形式化的手段，教学内容更紧密联系学生生活和社会发展，使学习者通过直接感受去理解和把握空间关系。（4）现代信息技术成为几何课程的“平台”,（二）内容设置的功能：1.“图形与几