数学建模公选课：第五讲-微分方程模型

第五讲微分方程模型,一、微分方程模型概述二、人口增长问题三、传染病的传播四、微分方程数值解法五、进一步的学习,第五讲微分方程模型,微分方程模型是连续性模型中最主要的部分，模型的建立主要是基于机理分析的方法，利用所研究问题内部的联系，利用微元法，通过建立微分方程或微分方程组描述问题的本质。,一、微分方程模型概述,所谓微元法就是考察变量的一个微小变动对结果的影响，进而得到反映变化规律的微分方程。,微分方程模型分为：常微分方程（组）模型（ODEs），和偏微分方程（组）（PDEs）模型。,第五讲微分方程模型,建立微分方程模型的步骤,（1）根据问题要求，确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数）,（2）找出这些量所满足的基本规律（根据物理、几何、化学等学科中的原理以及实际问题中给出的条件，所做的假设等等，有时还可以从数据上进行挖掘）。,（3）根据这些规律，列出关于未知函数变化率的方程。并确定定解条件,微分方程模型的求解,解析解法、数值解法,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,一个简单的计算公式,假设今年人口x0,人口的年增长率为r，则k年后人口,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),基本假设:人口(相对)增长率r是常数,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题马尔萨斯人口模型,x(t)时刻t的人口,该模型的结果表明，随着时间增加，人口按指数规律无限增长。,这与实际相符么？为什么？,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题马尔萨斯人口模型,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题阻滞增长模型（Logistic模型）,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题阻滞增长模型（Logistic模型）,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题阻滞增长模型（Logistic模型）,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,第五讲微分方程模型,二、人口增长问题阻滞增长模型（Logistic模型）,模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,第五讲微分方程模型,三、传染病传播模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数=1阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线的定义域,在D内作相轨线的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s01/i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/,的估计,降低s0,提高r0,提高阈值1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,小,s01,提高阈值1/降低被传染人数比例x,s0-1/=,第五讲微分方程模型,四、微分方程数值解法,显式Euler法,隐式Euler法,梯形法,改进Euler法,RK法,Adams法,广告效应：某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。（1）建立该问题的数学模型，并求其数值解；（2）厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达