数学分析刘玉琏17-3

1,西南财经大学省级精品课程经济管理数学分析课题组版权所有请勿外传,2,3方向导数与梯度,第十七章多元函数微分学,3,例如：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?,问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行,在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数)，而且还要了解在其他方向上的变化率，这就是本节要讨论的方向导数.本节还要讨论方向导数的一个应用即梯度.,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,4,一方向导数,如右上图所示，,其对应的函数z=f(x,y)的,当P沿着l趋于P0时，是,否存在以下极限?,变化如左下图所示.,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,5,记为,依定义，函数f(x,y)在点P沿着x轴正向l1:(1,0)、y轴正向l2:(0,1)的方向导数分别为fx,fy；,沿着x轴负向、y轴负向的方向导数分别为fx,fy.,注方向导数与偏导数几何意义的区别，如右图所示：,6,证(补充),由于函数可微，则全增量可表示为,两边同除以，,得到,定理17.6(P125)如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)是可微分的，则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有,其中为x轴到方向l的转角,故有方向导数,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,7,解,这里方向l:(1,1)，,所求方向导数,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,8,解,由方向导数的计算公式知,例求函数f(x,y)=x2xy+y2在点(1,1)沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零？,故,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,9,推广可得三元函数方向导数的定义,定理17.6(P125)若函数f在点P0(x0,y0,z0)可微，则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,10,例1(P125)设f(x,y,z)=x+y2+z3,求f在点P0(1,1,1)沿方向l:(2,2,1)方向导数.,解,求偏导数，得,于是,方向l的方向余弦：,所以f沿l方向的方向导数是：,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,11,注(P126),(1)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件；,在原点不连续，也就不可微，但在原点沿任何方向的方向导数都存在(等于零).如图167(P95).,(2)函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件，当然也不是充分条件.,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,12,二梯度,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,13,梯度向量gradf的长度(或模)为,注,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度,14,解,求偏导数，得,于是,所以,第十七章多元函数微分学3方向导数与梯度