机械系统动力学课件

机械系统动力学,多自由度系统的近似解法,主讲人：石福成,第5章多自由度系统振动的近似解法,5.2矩阵迭代法5.3瑞利法5.4里兹法5.5子空间迭代法5.6振型截断法5.8传递矩阵法,1.里兹法基本思想里兹法是用有限自由度体系来近似替代无限自由度体系，利用势能原理来求得原体系近似解的方法。特别地，假设我们用一个n维试探空间去逼近一个无限维空间，如果该试探空间选取的n个基均能够用原空间的一组基线性表示，那么用里兹法求得的解恰好就是原体系的精确解。,2.里兹法求解近似振型,我们假设系统的主振型为,为s个线性独立的振型。,其中，,若记,则有,将上式代入瑞利商，有,其中,（5-46）,（5-47）,（5-48）,（5-49）,（5-50）,由于R(X)在系统的真实主振型处取驻值，故有,因为,（5-51）,（5-52）,所以上面s个方程可合写为,同理可得,联立（5-53）、（5-54）、（5-55）可得,（5-53）,（5-54）,（5-55）,（5-56）,由（5-56）求出s个特征值,及相应的特征向量,，原来系统前s阶固有频率就可近似取为,（5-57）,由式（5-48），相应的主振型近似取为,（5-58）,不难得知，（5-58）算出的近似特征向量就是关于K、M相互正交的。事实上，（5-56）算出的特征向量有下列正交性：,（5-59）,由（5-59），我们可以得出结论,同理可得,（5-60）,（5-61）,如果事先选取的s个假设振型恰好是系统前s个主振型，即有,（5-62）,问题来了！我们如何才能求得系统的前s阶固有频率的精确解呢？,则，由（5-50）得,（5-63）,（5-64）,其中，,在,中，依次取i=1,2,s，得到s个方程可合写为,（5-65）,（5-66）,（4-61）,对（5-66）左乘,有,于是，由（5-56）得到特征多项式,（5-68）,（5-67）,（5-69）,如果事先选取的s个假设振型恰好是系统前s个主振型，那么由里兹法算出的恰好是系统前s阶固有频率精确值。,那么问题又来了!我们的这个结论能否得到进一步一般化呢？,显然，在理论上：如果前面选取的s个假设振型线性独立，且均可表示成系统前s阶主振型的线性组合，那么用里兹法算出的前s阶固有频率及相应主振型仍是精确的。,证明：,假设,或简洁的表示为,（5-70）,因为,所以,由（5-70）得,由（5-50）、（5-70）、（5-66）、（5-71），得出,对上式右乘得到,另一方面,（5-71）,（5-72）,（5-73）,，,由（5-56）、（5-73），得,显然，（5-74）与（5-72）表示同一特征值问题，即有,同样，由（5-71）、（5-76）得出,（5-74）,（5-75）,（5-76）,（5-77）,因此，我们提出的结论成立。,证毕。,例题,用里兹法计算例5.3的系统的前2阶固有频率及主振型。,解：,将假设的振型选为,由（5-50）求出,于是得到其特征值问题为,其中,解得系统前二阶固有频率及对应的主振型为,其中，是主振型归一化时得到的常数，不必考虑。,系统的前2阶固有频率精确值为,里兹法得到的前2阶固有频率为,根据同一假设振型的瑞利商R(X),R(F)得到的基频为,和,因此，里兹法可以更好的计算系统的基频,小结：,里兹法的基本思想是能量守恒。,里兹法实际是一种缩减系统自