数学分析刘玉琏16-1

1,西南财经大学省级精品课程经济管理数学分析课题组版权所有请勿外传,2,第十六章多元函数的极限与连续,2二元函数的极限,3二元函数的连续性,1平面点集与多元函数,经济管理数学分析,3,1平面点集与多元函数,第十六章多元函数的极限与连续,4,一平面点集,1.平面点集的基本概念(P85),第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,5,2.点与点集的关系(按内外关系)：,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,6,例如，平面点集D1=(x,y)|x+y0：,易见，直线上方每一点都是D1的内点.但直线上的点不是D1的内点.,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,7,易知，圆内部的每一点都是D2的内点.但圆周上的点不是D2的内点.,又如，平面点集D2=(x,y)|x2+y21，,如图：,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,8,其中CE=R2E是E关于全平面的余集，E的全体界点所成集合称为E的边界，记作E.,例如，平面点集D1=(x,y)|x+y0的边界是直线x+y=0上点的全体.平面点集D2=(x,y)|x2+y21的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图所示：,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,9,E的界点可以是E中的点，也可以不是E中的点.,D1,例如，平面点集D1=(x,y)|x+y0的边界是直线x+y=0上点的全体.平面点集D2=(x,y)|x2+y21的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图所示：,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,10,从几何上看，所谓A是E的聚点是指在A的附近聚集了无限多个E中的点.即在A的任意近旁都有无限多个E中的点.,如图所示,3.点与点集的关系(按疏密关系)：,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,11,D1的界点是D1的聚点，但它不属于D1；D2的界点是D2的聚点，但它属于D2.,例如,平面点集D1=(x,y)|x+y0和D2=(x,y)|x2+y21如图所示：,D1,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,12,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,13,例如，平面点集D1=(x,y)|x+y0是开集.平面点集D2=(x,y)|x2+y21不是开集.,一般地，E如右图所示：,若E不包含边界，则E为开集.,若E包含边界，则E不是开集.,4.一些重要的平面点集,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,14,如图,X,Y,E连通,例如,平面点集D2=(x,y)|x2+y21是闭集.,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,15,从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.,从几何上看，所谓E是连通集，是指E是连成一片的，E中的点都可用折线连接.,例如，平面点集D1=(x,y)|x+y0和D2=(x,y)|x2+y21都是连通集.,例如，平面点集D2=(x,y)|x2+y21是闭区域.,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,16,例如，平面点集D1=(x,y)|x+y0是无界集，它是无界开区域，而平面点集D2=(x,y)|x2+y21是有界集，它是有界闭区域.,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,17,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,18,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,19,点集D定义域，,值域.,x、y自变量，z因变量.,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,20,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,解,所求定义域为,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,其中D为有界半开半闭区域.,21,二元函数z=f(x,y)的几何意义,如图所示,设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的(x,y)D，对应的函数值为z=f(x,y).以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)，当(x,y)取遍D上一切点时，得一个空间点集(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D，,二元函数的图形通常是一张曲面.,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,22,例如，1.z=ax+by+c一张平面，如图,O,x,y,z,球心在(0，0，0)，半径为R的上半球球面S，如图,R,O,x,y,z,S,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,23,顶点在原点，位于xoy面上方的园锥面S,O,x,y,z,S,O,y,z,x,S,双曲抛物面(马鞍面)S注与例4(P91)的区别,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,24,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,25,习题：P921习题1,2,6,8题,第十六章多元函数的极限与连续1平面点集与多元函数,26,*齐次函数,二元k次齐次函数：（tR，k常数）例如：一次齐次函数二次齐次函数(+)次齐次函数（Cobb-Dougl