清华大学高等数学第十八讲 常微分方程(一)

2020/5/30,1,作业,P304习题14.11(1)(3).2.3(1)P322习题14.21(3)(4).2(3)(4)(6).3(4)(8).,2020/5/30,2,请安静！,2020/5/30,3,常微分方程初步,第十八讲常微分方程(一),二、微分方程的基本概念,三、解的存在唯一性定理,四、初等积分法,一、引言,2020/5/30,5,十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。,一、引言,2020/5/30,6,重力,切向分力,解,阻力,受力分析,2020/5/30,7,根据牛顿第二定律,得到,注意到,从而有,微分方程,初始条件,定解条件,定解问题,4,2020/5/30,8,定义1:含有未知函数的导数的方程称为微分方程.,未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.,未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.,二、微分方程的基本概念,2020/5/30,9,例如,二阶,未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.,定义2:(微分方程的阶),2020/5/30,10,未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为线性微分方程.,定义3:(线性与非线性),2020/5/30,11,定义4:(微分方程的解),定义5:(微分方程的通解),称为微分方程的通解,2020/5/30,12,2020/5/30,13,定义：(微分方程的特解)一个常微分方程的满足定解条件的解称为微分方程的特解,通解有时也写成隐式形式,称为微分方程的通积分,2020/5/30,14,有n个定解条件,2020/5/30,15,定义6:(常微分方程的积分曲线),积分曲线族,4,2020/5/30,16,三、解的存在唯一性定理,2020/5/30,17,2020/5/30,18,2020/5/30,19,例,解,2020/5/30,20,这时方程有两个解：,4,2020/5/30,21,四、初等积分法,所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解常微分方程.初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分方程.,2020/5/30,22,(一)可分离变量方程,(二)一阶线性方程,可化为可分离变量,(三)全微分方程,可化为一阶线性例如：伯努利方程,可化为全微分方程,利用积分因子,2020/5/30,23,两边积分,通解,分离变量,这两个方程的共同特点是变量可分离型,(一)分离变量法,2020/5/30,24,(1)解,两边积分,分离变量,即,2020/5/30,25,(分离变量时,这个解被丢掉了!),于是得到,方程通解,2020/5/30,26,(2)解,分离变量,两端积分,得,通解,奇异解,注意,即,也是方程的解！,2020/5/30,27,求解方法,齐次方程,这两个方程的共同特点是什麽?,这是什麽方程？,可分离变量方程！,变量代换，化为可分离变量,例2,2020/5/30,28,分离变量,两端积分,2020/5/30,29,取指数并且脱去绝对值,由此又得到,通解,2020/5/30,30,这是什麽方程?,解,方程化为,即,分离变量，两边积分,齐次方程,可分离变量方程,2020/5/30,31,得,通解,即,2020/5/30,32,方程化为,分离变量，两边积分,通解,2020/5/30,33,(1)如何解齐次方程？,分离变量,解得,非齐次,齐次,是p(x)一个原函数不是不定积分！,注意！,什麽类型？,可分离型！,(二)一阶线性方程,齐次通解公式,方法,2020/5/30,34,(2)用常数变异法解非齐次方程,假定非齐次方程的解具有如下形式,将这个解代入非齐次方程,经计算得到,任意常数变成函数,2020/5/30,35,化简得到,积分得到,从而得到非齐次方程的通解,非齐次通解公式,2020/5/30,36,或,特解,非齐次特解,2020/5/30,37,一阶线性非齐次通解特点,齐次通解,非齐次一个解,2020/5/30,38,解,化为标准形式,利用公式求解,2020/5/30,39,这是线性方程吗？,是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,2020/5/30,40,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程的解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,2020/5/30,41,证,2020/5/30,42,2020/5/30,43,Bernoulli方程,2020/5/30,44,Bernoulli方程,线性方程,2020/5/30,45,解,2020/5/30,46,先解这个方程,1解齐次方程,通解,2解非齐次方程,设解为,代入非齐次方程,计算化简得到,2020/5/30,47,20