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1含参量正常积分,对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.,一、含参量正常积分的定义,返回,五、例题,四、含参量正常积分的可积性,三、含参量正常积分的可微性,二、含参量正常积分的连续性,一、含参量正常积分的定义,续函数(图19-1),或简称为含参量积分.,二、含参量正常积分的连续性,在a,b上连续.,只要,就有,所以由(3),(4)可得,在c,d上连续.,注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:,都有,这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极,限运算与积分运算的顺序是可以交换的.,证对积分(6)用换元积分法,令,当y在c(x)与d(x)之间取值时,t在0,1上取值,且,所以从(6)式可得,由于被积函数,(6)所确定的函数F(x)在a,b连续.,三、含参量正常积分的可微性,则函数,区间的端点,则讨论单侧函数),则,就有,其值含于p,q内的可微函数,则函数,证把F(x)看作复合函数:,由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有,四、含参量正常积分的可积性,由定理19.1与定理19.2推得:,上连续,则I(x)与J(x)分别在,求积顺序不同的积分:,与,为书写简便起见,今后将上述两个积分写作,与,表示求积顺序相反.它们统称为累次积分.,连续,则,证记,其中,定理19.3,取就得到所要证明的(8)式.,五、例题,例1求,都是a和x的连续函数,由定理19.2已知,I(a)在处连续,所以,上连续.,例3计算积分,解令,上满足定理19.3的条件,于是,因为,所以,因而,另一方面,所以,的各阶导数存在，且,例4设在的某个邻域内连续,验证当|x|充,是由定理19.4可得,同理,如此继续下去，求得k阶导数为,其各导数为,例5求,解因为,条件,所以交换积分顺序得到,用交换积分次序的方法求出积分值.,上连续,由定理19.6,复习思考题,1
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