概率论与数理统计第1讲课件

16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕,斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方,法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理,分配赌注问题”(即得分问题).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的数学分支学科.,前,言,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠,和行动提供依据和建议的数学分支学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,概率统计学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.不仅高等学校各专业都,开设了本课程,而且在上世纪末，,此课程被教育部定为本科生考研的,数学课程之一，希望大家能认真学,好这门不易学好的重要课程.,概率论与数理统计第一讲,主讲教师：孙永平,浙江传媒学院电子信息学院,概述,随机现象及其统计规律性什么是随机现象？随机现象的特点概率论与数理统计的研究内容概率论与数理统计的广泛应用随机事件的基本概念随机试验与事件事件的关系与运算,什么是随机现象？,人们所观察到的现象大体上分成两类：1.事前可以预知结果：即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。这样的现象为确定性现象或必然现象。2.事前不能预知结果：即在相同的条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。这样的现象为偶然性现象或随机现象。,下列现象中哪些是随机现象？,在一个标准大气压下,水在100时沸腾；明天的最高温度;C.掷一颗骰子，观察其向上点数；D.上抛的物体一定下落；E.新生婴儿体重。,随机现象的特点,对随机现象进行观察、观测或测量，每次出现的结果是多个可能结果中的一个，“每次结果都是不可预知的”；但“所有可能的结果是已知的”。在一定条件下对随机现象进行大量重复观测后就会发现：随机现象的发生具有统计规律性。,例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)，但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。如：命中率等。,再如:测量一件物体的长度，由于仪器或观测者受到环境的影响，每次测量的结果可能有差异，但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值大多落在此常数附近，离常数越远的测量值出现的可能性越小。,“天有不测风云”和“天气可以预报”有无矛盾?,天有不测风云指的是：对随机现象进行一次观测，其观测结果具有偶然性；天气可以预报指的是：观测者通过大量的气象资料对天气进行预测，得到天气的变化规律。,?,想一想,概率论与数理统计的研究内容,随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律性”。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。,概率论与数理统计有广泛应用,(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；,(2).流水线上产品质量检验与质量控制；,(3).服务性行业中服务设施及服务员配置；,(4).生物医学中病理试验与药理试验；,(5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电子产品寿命分析；,(6).物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；,1.1基本概念,1.1.1随机试验与事件,I.随机试验,把对某种随机现象的一次观察、观测或测量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可预知，则称此试验为随机试验，也简称试验，记为E。注：以后所提到的试验均指随机试验。,第一章随机事件,随机试验举例E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几;E2:观察某城市某个月内交通事故发生的次数;E3:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命;E4:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小于200小时。,对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果所构成的集合却是已知的。,若以i表示试验Ei的样本空间,i=1,2,3,4,则E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，1=1,2,3,4,5,6；,称试验所有可能结果所构成的集合为样本空间，记为。,II.样本空间,样本空间的元素，即随机试验的单个结果称为样本点。,E2:观察某城市某个月内交通事故发生次数，2=0,1,2,；E3:对某只灯泡实验，观察其使用寿命，3=t,t0；,E4:对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否小于200小时，4=寿命小于200小时，寿命不小于200小时。,III.随机事件把样本空间的任意一个子集称为一个随机事件，简称事件。常用大写字母A,B,C等表示。特别地，如果事件只含一个试验结果(即样本空间中的一个元素)，则称该事件为基本事件；否则为复合事件。,例1：写出试验E1的样本空间，下述集合表示什么事件？指出哪些是基本事件：解：1=1,2,3,4,5,6.A1=1,A2=2,A6=6分别表示所掷结果为一点至六点，都是基本事件；B=2,4,6表示所掷结果为偶数点，复合事件；C=1,3,5,表示所掷结果为奇数点，复合事件；D=4,5,6表示所掷结果为四点或四点以上，复合事件。,(1).由于样本空间包含了所有的样本点,且是自身的一个子集。故,在每次试验中总是发生。因此,称为必然事件。(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空间的一个子集，由于它在每次试验中肯定不发生，所以称为不可能事件。,注意:只要做试验,就会产生一个结果,即样本空间中就会有一个点(样本点)出现。当结果A时，称事件A发生。,1.1.2事件的关系与运算,I.集合与事件,回忆:做试验E时,若A,则称事件A发生。,集合A包含于集合B:若对A,总有B,则称集合A包含于集合B,记成AB。,事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B,记成AB。,若AB,且BA,则称事件A与B相等,记成A=B。,集合A与B的并或和：若C,当且仅当A或B,则称集合C为集合A与B的并或和,记成AB。,事件A与B的并或和：若事件C发生,当且仅当事件A或B发生,则称事件C为事件A与B的并或和,记成AB或A+B。,无穷多个事件A1,A2,的和,n个事件A1,A2,An的和,C发生就是A1,A2,An中至少一个事件发生。,C发生就是A1,A2,中至少一个发生。,集合A与集合B的交或积：若C,当且仅当A且B,则称集合C为集合A与B的交或积，记成AB或AB。,事件A与B的积或交：若事件C发生，当且仅当事件A与B同时发生,则称事件C为事件A与B的积或交，记成AB或AB。,特别地,当AB=时，称A与B为互斥事件(或互不相容事件)，简称A与B互斥。也就是说事件A与B不能同时发生。,例1(续)：A1=1,A2=2,于是A1A2=。故A1与A2互斥；B=2,4,6,C=1,3,5,于是BC=，故B与C也互斥。,无穷多个事件A1,A2,的积,n个事件A1,A2,An的积,C发生就是A1,A2,An都发生。,C发生就是A1,A2,都发生。,集合A与集合B的差：若C当且仅当A且B，则称集合C为集合A与B的差，记成A-B。,事件A与B的差：若事件C发生当且仅当事件A发生且事件B不发生，则称事件C为事件A与B的差,记成AB。,特别地，称-A为A的对立事件(或A的逆事件、补事件)等，记成。,例1(续)：A1=1,B=2,4,6,于是,发生就是A不发生。,交换律:AB=BA，AB=BA；结合律:A(BC)=(AB)C，A(BC)=(AB)C；分配律:A(BC)=ABAC，A(BC)=(AB)(AC)；对偶律:,II.事件的运算法则(与集合运算法则相同),不是A,B中至少有一个发生,A,B均不发生,对于多个随机事件,上述运算规则也成立,A(A1A2An)=(AA1)(AA2)(AAn)，,1.2事件的概率,1.2.1事件的频率,I.频率定义,设A是一个事件,在相同条件下进行n次试验，A发生了m次。,则称m为事件A在n次试验中发生的频数或频次，称m与n之比m/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)。,当试验次数n充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率的稳定性。,频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。尽管每进行一连n次试验，所得到的频率可能各不相同,但只要n足当大，频率就会非常接近一个固定值概率。,因此,概率可以通过频率来“度量”,频率是概率的近似,概率是频率某种意义下的极限。,考虑在相同条件下进行的k组试验,事件A在各组试验中的频率形成一个数列,频率稳定性是指：各组试验次数n1,n2,nk充分大时，在各组试验中事件A出现的频率间、或频率与某定值相差很小。,稳定在概率p附近,下面我们来说明频率稳定性的含义。,在实际问题中，当概率不易求出时，人们在试验次数很大情况下，常用事件的频率作为概率的估计，并称此概率为统计概率。这种确定概率的方法为频率法。,例如:若需了解某射箭运动员中10环的概率，应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况进行观测、统计。,假设其射击n次，中10环m次，当n很大时，就m/n作为其命中10环的概率。,又如：进行产品检验时，如果检验了n件产品,其中m件为次品，则当n很大时，可用m/n作为产品的次品率(概率)的估计值。,(1)0fn(A)1；(2)fn()=1,fn()=0；(3).若事件A1,A2,Ak两两互斥，则:,II.频率性质,1933年，前苏联数学家(概率统计学家)柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)给出了概率如下公理化定义。,1.2.2事件概率,I.概率定义,概率的公理化定义,(2).P()=1;,(3).若事件A1,A2,两两互斥，则有,设E是随机试验，是样本空间，对中的每个事件A，赋予一个实数P(A)，如果事件(集合)函数P(A)满足下述三条:,(1).P(A)0；,则称P(A)为事件A的概率。,注意：这里的函数P(A)与以前所学过的函数不同。不同之处在于：P(A)的自变量是事件(集合)。,不难看出：这里事件概率的定义是在频率性质的基础之上提出的。在5.1中,我们将看到：频率fn(A)在某种意义下收敛到概率P(A)的结论。基于这一点，我们有理由用上述定义的概率P(A)来度量事件A在一次试验中发生的可能性大小。,II.概率的性质,1.P()=0，即不可能事件的概率为零；,2.若事件A1,A2,An两两互斥，则有：P(A1A2An)=P(A1)+P(An),即互斥事件并的概率等于它们各自概率之和(有限可加性)；,4.对两个事件A和B，若AB,则有:P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)。,3.对任一事件A,均有,证明：,5.对任意两个事件A,B，有,因AB，AAB，BAB两两互斥，且,由概率的可加性，有,P(A