数学分析刘玉琏11-1

西南财经大学省级精品课程经济管理数学分析课题组版权所有请勿外传,1反常积分概念2无穷积分的性质与收敛判别3瑕积分的性质与收敛判别,第十一章反常积分,经济管理数学分析,1反常积分概念,第十一章反常积分,一问题的提出,定积分,有两个基本条件，即：,积分区间a,b是有限区间，,第十一章反常积分1反常积分概念,且f(x)在a,b上是有界函数.,*例1(第二宇宙速度问题,P264)在地球表面垂直发射火箭.要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？,*例2(P264)圆柱形桶内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔.试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间？,归结为如何计算下列两种类型的积分：,第十一章反常积分1反常积分概念,o,x,y,1,u,解由于这个图形不是封闭的曲边梯形，而在x轴的正方向是开口的，即这里的区间为1,+).,显然当u改变时，曲边梯形的面积也随之改变.,则所求的“开口曲边梯形”的面积为1.,第十一章反常积分1反常积分概念,二两类反常积分的定义,定义1(P265)设函数f定义在无穷区间a,+)上，且在任何有限区间a,u上可积，如果存在极限,则称此极限J为函数f在无穷区间a,+)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作,即,当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷积分发散.,1.无穷积分:无穷区间有三种，分别给出其定义.,第十一章反常积分1反常积分概念,(ii)无穷积分的几何意义,O,x,y,a,第十一章反常积分1反常积分概念,设函数f定义在无穷区间(,b上，且在任何有限区间u,b上可积，如果存在极限,则称此极限J为函数f在无穷区间(,b上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作,即,当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷积分发散.,第十一章反常积分1反常积分概念,对于定义在(,+)上的无穷积分，如果两个无穷积分,(a为任一实数)都收敛，则称上述两无穷积分之和为函数f在无穷区间(,+)上的反常积分(简称无穷积分)，记作,即,注,的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关.,第十一章反常积分1反常积分概念,解,发散;,显然p=0时,例讨论无穷积分的收敛性.,故原无穷积分当p0时收敛于当p0时发散.,简记公式(补充)：,当p0时，,第十一章反常积分1反常积分概念,证,例3(P266)证明无穷积分当p1时收敛,当p1时发散.,因此当p1时该无穷积分收敛，其值为当p1时该无穷积分发散.,第十一章反常积分1反常积分概念,例4(1)(P266),例4(2)(P266)计算无穷积分,解,P266例3,第十一章反常积分1反常积分概念,2.瑕积分,定义2(P267)设函数f定义在区间(a,b上，在点a的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间u,b(a,b上有界且可积.如果极限存在,则称此极限为无界函数f在区间(a,b上的反常积分，记作,即,当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.,此时点a也称为f的瑕点,第十一章反常积分1反常积分概念,类似地,可定义瑕点为b的瑕积分：,其中函数f定义在区间a,b)上，点b的任一左邻域内无界，但在任何内闭区间a,ua,b)上有界且可积.,若f的瑕点c(a,b),则定义瑕积分：,其中函数f定义在区间a,c)(c,b上，在点c的任一邻域内无界，但在任何a,ua,c)和v,b(c,b上都可积.,当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.反例,第十一章反常积分1反常积分概念,例5(P268)计算瑕积分,解,所以x=1为被积函数的无穷间断点，即瑕点.,简记公式(补充)：,第十一章反常积分1反常积分概念,证,例6(P268)讨论瑕积分的收敛性.,因此，当q1时该瑕积分收敛，其值当q1时该瑕积分发散.,第十一章反常积分1反常积分概念,注,(1)上述结论以后是经常用到的，要熟记;(2)上述结论可