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文档简介

1定积分的概念,在很多数学和物理问题中，经常需要,求一类特殊和式的极限:,这类特殊极限问题导出了定积分的概念.,返回,三个典型问题,S(A),其中,2.已知质点运动的速度为求从时刻,3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为,求线状物体的质量m.,显然,这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下，,a到时刻b,质点运动的路程s.,可以用简单的乘法进行计算.而现在遇到的问题,以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题,中心思想：,是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形，如何,来解决这些问题呢？,合理地归为一类特殊和式的极限.,把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每,个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替,代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的,一分为二,时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面,积.,一分为四,一分为八,一分为n,可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形,的面积.,过程呢？这可以分三步进行.,1.分割：把曲边梯形A分成n个小曲边梯形,如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的,2.近似:,3.逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是,S总有差别.当分割越来越细时，和式,问题是：,越细？,就会越来越小.,下面依次讨论这两个问题.,来表示分割T越来越细,因为可能某些,的长度不趋于0.,就能保证分割越来越细.,总结以上分析，下面给出定积分定义.,对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和,的极限.,定义1,并称J为f在a,b上的,及任意,定积分,记作,注1,列极限，也不是函数极限.,注2,中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求,因此定积分既不是数,关于定积分定义，应注意以下几点：,f(x)在每个小区间xi1,xi上变化不大,这相当于,要求f(x)有某种程度上的连续性.,a,b上的一致连续性,可证f(x)在a,b上可积.,下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.,解,例1,存在.为方便起见,令,以后将知道f(x)在a,b上连续时,利用f(x)在,则,此时黎曼和的极限化为,的极限
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