第三章变量数学创立时期

第三章变量数学,最终，法国数学家Descartes与费尔马(PierredeFermat，16011665)共同创立了解析几何。为微积分的问世奠定了最后的基础,解析几何的诞生,NicolOresme(法，13201382)论形态幅度在讨论物体运动中，借助于“经、纬度，用曲线表示函数的图象。,Apollonius(262BC190BC)圆锥曲线论中引进了一种斜角坐标系；,LeonardoFibonacci（11701240)实用几何（1220）中用代数方法去解几何问题；,折光：折射定律,ReneDescartes（法，15961650年）,气象：虹的形成原理,几何学：解析几何(含求切线方法）,笛卡儿的几何学1637年,ReneDescartes与光学图形（摩纳哥，1996）,三附录：,ReneDescartes（法，15961650年），法国科学家、哲学家和数学家，西方近代资产阶级哲学奠基人之一，其哲学与数学思想对历史有深远的影响。他的著作在生前就遭到教会的指责，他死后的1663年，更被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中。他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”,Descartes1616年获法学博士学位后，背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。1618年开始，他投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。然而军旅生活又使Descartes感到疲惫，他于1621年回国，时值法国内乱，于是他去荷兰、瑞士、意大利等地旅行。1625年返回巴黎，1628年移居荷兰。,在荷兰长达20多年的时间里，Descartes潜心研究和写作生涯，对哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域进行了深入的研究，并通过数学家梅森（法，15881648年）神父与欧洲主要学者保持密切联系，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。,1649年，Descartes勉强地接受克利斯蒂娜女王的邀请到了瑞典，几个月后因患肺炎死于斯德哥尔摩。,1637年更好地指导推理和寻求科学真理的方法论中有三个附录，折光含有光的折射定律，气象学中有虹的形成原理，几何学给出了解析几何思想。,（PierredeFermat，法，16011665年）,1637年求最大值和最小值的方法,PierredeFermat（法，16011665年），17世纪法国最伟大的数学家.关于解析几何的工作在于始于竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作论平面曲线而引起的;1629年平面和立体轨迹引论也阐述了解析几何的原理。,1655年圆锥曲线：抛弃综合法，引进解析法，引入负坐标,JohnWallis，英，16161703年,JocobBernoulli瑞士，1654-1705,1691年引入极坐标，深入研究对数螺线,“纵使改变，依然故我”,问：对数螺线有哪些“性质”？,墓碑的遗憾阿基米德螺线,JohannBernoulli(瑞，1667-1748),对数螺线的臂的距离以几何级数递增。,1715年引入空间坐标系,对数螺线是自我相似的；这即是说，对数螺线经放大后可与原图完全相同。对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线。从原点到对数螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿对数螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由Torricelli发现的。,设L:=arccot(lnr)为穿过原点的任意直线，则L与对数螺线的相交的角永远相等（故又名等角螺线)设C为以原点为心的任意圆，则C与对数螺线的相交的角永远相等：=arctan(lnr),此值名为“倾斜度”,确定行星运行的路程、向径扫过的面积等又需要计算曲线长、曲边图形的面积等。,二、微积分的产生与发展,（一）产生（十七世纪微积分的世纪）,四大基本问题：速率，切线，最值，长度与面积,确定非匀速运动物体的速度和加速度需要研究瞬时变化率问题；,望远镜的设计需要确定透镜曲面上任一点的法线因而需要研究曲线的切线问题；,确定炮弹的最大射程等需要研究最大、最小值；,1.牛顿出现以前,希腊时期的穷竭法,安提丰(约公元前430)提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8，16，32、边形，这样继续下去，安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。,“根据自然，我们大家在各方面都是平等的，并且无论是蛮族人，还是希腊人，都是如此。在这里，应当适时地注意，所有人自然需求都是一样的。”安提丰(约公元前430),“穷竭法”以欧道克斯(Eudoxus前400-前350年)命名。它以下面命题1作为基础：,命题2（原本第十二章命题1）.,如果从任一量减去不小于它的一半的部分，从余下的再减去不小于它的一半的另一部分，如此继续下去，则最后留下一个小于任何给定的同类量。,圆内接相似多边形之比如同圆直径上正方形之比。,命题1（原本第十章命题1）.,命题3（原本第十二章命题2）.,圆与圆之比如同直径上正方形之比。即,此命题与下面命题2证略，为帮助大家理解穷竭法，利用命题1,2，证命题3。,证.,设圆面积为A，内接正n边形面积为Sn,则,由命题1，当n无限增大时，圆面积与正多边形的差可以小于任意小的给定面积。,由前知，在第一园内存在正多边形P1:,阿基米德证明的主要精神是证明圆可以被圆内接多边形穷竭(设半径为1）。,设AB是内接正方形的一边，平分弧AB于点C处并连接AC与CB。作C处的切线，并作AD及BE垂直于切线。,在圆里面内接一个正方形，其面积大于圆面积的1/2（因为它大于圆外切正方形面积的1/2，而外切正方形的面积大于圆的面积。）,对正方形的每边都这样做，得到一个正八边形。,O,从而，ABED是一个矩形，面积大于弓形ACB的面积。,因此，等于矩形面积一半的三角形ABC的面积大于弓形ACB面积的一半。,所得到的八边形不仅包含正方形且包含圆与正方形面积之差的一半以上。,8边形,在八边形的每边上也可按照在AB上作三角形ABC那样地作一个三角形，从而得到一个正十六边形。,这个正十六边形不仅包含八边形且包含圆与八边形面积之差的一半以上。,这种做法你想做多少次就可以做多少次。可以肯定，圆与某一边数足够多的正多边形面积之差可以弄得比任何预先给定的量还要小,32边形,64边形,16边形,Archimedes的平衡法一例：求球的体积,左力矩=4右力矩,左力矩总和=4右力矩总和=4R柱体体积,2R（球体积+锥体体积）=4R柱体体积,球体积=2柱体体积-锥体积：,出现在罗马将军马塞勒斯立的墓碑上,微积分的创立,JohnWallis，英,1616-1703，分数幂积分(1656),Pascal，法,1623-1662，特征三角形,Barrow，Isaac，英,1630-1677,特征三角形,曲线切线(1664),“不可分量原理”(意大利卡瓦列里,1635年),西方第一次(祖暅原理？),第二原理：有两个立体处于两个平行平面之间，在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面，如果它们被立体所截得的面积相等，则这两个立体的体积相等。,第一原理:有两个平面片处于两条平行线之间，在这两个平面片内作任意平行于这两条平行线的直线，如果它们被平面片所截得的线段长度相等，则这两个平面片的面积相等。,实例:求椭圆的面积,费马求函数极大或极小值的思想方法：,例求周长为2B的矩形面积的最大值。,解法：设该矩形常为x，则宽为B-x,面积为x(B-x).,此时，矩形面积取最大值.,如果f(x)在x点上有一个普通的极大值或极小值，并且若e很小，则f(x-e)的值几乎等于f(x)的值。所以，我们暂时令f(x-e)=f(x),然后，令e取值零，使得等式成为正确的，所得方程的根就给出使f(x)取极大值或极小值的那些x的值。这是现代微积分学求函数f(x)的普通极大值或极小值的常用方法，然而，费马只是给出了函数极值存在的必要但不充分的条件。,1669年英国数学家巴罗利用它找到了求切线的几何方法，并发现了积分与微分的互逆关系。此后，莱布尼兹应用这个三角形建立起他的无穷小量的微积分理论。,21,2.牛顿的贡献,自然哲学的数学原理1687年,牛顿（IsaacNewtons，16431727）,时至当时，经过众多数学家们努力，人类积累了大量的知识碎片，需要有一个人走哪最高和最后的一步，这个人要有足够的敏锐，足够的想象力和魄力，能够重新组织这些碎片，从纷乱中提取前人的有价值想法，制定出一个宏伟的计划。这个人就是IsaacNewton：NatureandNatureslawslayhidinnight,Godsaid“letNewtonbe”andallwaslight.,A.Pope（16881744）,牛顿出生在一个中等农户家庭，是个遗腹子，而且早产，出生后勉强活了下来。中学时学习成绩并不突出，但十分喜欢做机械玩具和模型。,1665-1666年，牛顿为躲避伦敦的瘟疫而回到家乡爱尔索普。这期间他发现了二项式定理和流数法，进行了颜色的试验，并开始思考万有引力问题。,牛顿简介,17岁时，他母亲把他从当时就读的中学召回田庄务农。在牛顿的舅舅和格兰瑟姆中学校长的竭力劝说下，他母亲才在九个月后允许牛顿返校学习。当时史托克斯校长对牛顿的母亲说：“在繁杂的农活中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失。”后来牛顿在他舅舅的支持下就读于剑桥大学三一学院。,1670年起，牛顿主要研究光学，制造反射望远镜，发现了太阳光的合成性质，并被选为皇家学会会员。正是在光学领域中发生了他与胡克（R.Hooke，16351703）的争吵，既影响了科学研究的气氛，也影响了牛顿的健康。,经过近十年的中断，1679年底牛顿的注意力重新集中于引力的研究，并于80年代上半期全力写成了自然哲学的数学原理。1687年，天文学家哈雷用自己的钱资助，出版了牛顿的著作自然哲学的数学原理,1667年回到剑桥被选为三一学院的研究员，1669年接替巴罗成为数学卢卡斯教授。1670年起，在剑桥大学正式开课，但由于过于艰深，他的讲课没能受到学生的欢迎。,这本书被公认为科学史上最伟大的著作（爱因斯坦称赞为“无比辉煌的演绎成就”）。它成了理论力学、天文学、宇宙学的可以补充但不可超越的理论基石。,全书的核心是力学三定律（惯性定律、加速度定律、作用与反作用定律）和万有引力定律。,哥白尼提出了一个正确的太阳系结构假说；伽利略发现了一些地上物体运动的基本规律，并以观察事实支持了哥白尼；开普勒发现了天空中行星运行的真实情况；而牛顿则把他们所有的伟大成就统一了起来，并回答了物体为什么会这样运动的问题。,他在书中所阐明的基本定律成了所有力学的基本出发点，他用万有引力定律解释了潮汐现象，并预言地球是赤道部分略为突出的椭球。,1693年，牛顿精神分裂症的症状日见严重，于是离开了剑桥大学,1695年任造币局督办，1699年任造币局局长，同年被选为巴黎科学院的外籍院士。1703年，当了30年英国皇家学会会员后任皇家学会会长，1705年被女皇封为爵士，成为贵族。晚年颇为孤寂，只有一个外甥女与他做伴，直到1727年去世。,对牛顿的两点遗憾：1.为什么不一直搞学术到老；2.真遗憾，临老临老还去信神（没信马列主义）？,答：第一个遗憾有强人所难的嫌疑？第二个遗憾是不尊重事实，牛顿从来不理解无神论者，当时还没有马克斯,Newton的贡献举例,例1(如图）.,Newton证明了问题的逆：,例2（已知流量的关系，求流数间关系）,再将原方程按y降幂排列：,意义：隐函数求导，参数方程求导公式,莱布尼茨是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微积分学论文一种求极大与极小值和求切线的新方法，简称新方法，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。文中定义了微分并广泛采用了微分记号dx、dy、dny等（用difference的首字母）。,3.莱布尼兹的贡献,Leibniz，16461716,30,特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676年6月23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求dy/dx，其中dy，dx是变量的差，dy/dx是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但它是十分零乱不全的。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。,莱布尼茨还是制造计算机的先驱，1674年在巴黎科学院当众演示了他制成的“算术计算机”，这是第一台能做四则运算的计算机。,问：二进制算术源于易经？,Newton与Leibniz的异同,1.经过他们的工作，微积分独立成了一门科学2.他们都算术化（程序化）了微积分3.他们都把面积，体积及其他作为和来处理的问题归结为反微分。从而使四个主要问题：速率、切线、最值、求和全部归结为微分与反微分.4、Newton利用无穷小量研究变化率（导数），Leibniz却直接研究微分，视导数为微商（物理与哲学的区别）5.Newton擅长利用导数解决问题，Leibniz却首先想到的是求和.6.Newton习惯自由的使用级数解题，Leibniz却宁肯用有限的形式7.Newton的工作方式是经验的，具体的和谨慎的，Leibniz却是富有想象的，喜欢推广的和大胆的.,1687年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。,创建微积分优先权的争论,（二）发展,1.十八世纪（英雄的世纪）的数学,向前进，向前进，你就会获得信念！把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固,看来现代的数学家们像从事科学的人们那样，在应用他们的原理方面花费的心血比在了解这些原理方面多得多,17世纪最伟大的数学成就是微积分，18世纪的大部分数学工作则是多方面利用微积分方法所进行的新的创造产生了现在仍在研究的许多数学新领域：无穷级数、微分方程、微分几何、变分法、复变函数等等,DAlembert,1717-1783,Berkeiey，16851753,18世纪的卓越数学家主要有英伦三岛的Taylor、Maclaurin；欧洲大陆有瑞士的Bernoulli家族，以及18世纪数学界的中心人物、在数学史上与Archimedes、Newton、Gauss一起被称为“四个最伟大的数学家”的瑞士数学家LEuler,继Bernou家族和LEuler之后，主宰18世纪的数学是法国数学家，他们中有ADeMoivre、ACClairaut、DAlembert、JHLa-mbert，著名的“三L”：JLLagrange、PSLaplace、AMLegendre，以及GMonge和LCarnot,法国一直到19世纪上半叶仍是世界数学中心,英雄世纪的数学英雄,读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师,拉普拉斯,如果说17世纪由于创造了2000多年来梦寐以求的微积分而被誉为天才的世纪，那么18世纪由于数学家们把微积分大大向前推进，并且在各个科学技术领域取得辉煌胜利，而成为英雄的世纪。18世纪数学英雄的最高代表就是列昂纳德欧拉（LEuler，瑞士，17071783）。,他的研究足迹遍及当时科学的一切领域。上至天文，下至地理，大到行星轨迹，小到分子运动，从潮汐理论到船舶设计，从声的传播、光的波动到人体的血液流动，从望远镜、显微镜的设计到梁的弯曲和弹道的计算，范围是这样广阔，内容是这样深刻，以致要写出他的全部发明项目都需要好几页的篇幅，而他所提出的创见至今仍有待于我们用心研究的，还可以列出长长一串。怪不得仅仅为整理他没有发表的文稿就使彼得堡科学院足足忙碌了47年!,18世纪数学工作的推动力是解决物理自然科学的问题，工作的目标是解决物理问题法国的狄德罗（DDideret，17131784)）和DAlembert明确地把数学看作是自然科学的一个分支，这样数学在历史上第一次从属于自然科学同时，数学家还逐渐抛弃了宇宙是上帝按照数学定律设计的信念，机械决定论开始占据人们的心灵，而这一切都得益于数学的巨大成就18世纪可以说是数学史上的英雄时代,18世纪数学研究的特点是，取得的成果相当丰富，涉猎领域十分广泛，但其中有些内容却经不起严格推敲,2.第二次数学危机及其消除,考察十七世纪，我们会发现：微积分出现的开始，就有人质疑它的逻辑严密性，但是由于微积分太有用了，人们都热衷发展和应用微积分，对此不予重视。十八世纪的微积分虽然是硕果累累，但是在逻辑上却依然处于一种完全混乱的状态。,可以说，1800年微积分基础方面的状况比1700年的更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础。因为他们是权威，他们的许多同事接受了并不加批判地重复这些观点，甚至将它们进一步发展。他们被引上了一条错误的路。,虽然如此，还是有一些学者为此努力，并大声呐喊。其中著名的是爱尔兰哲学家，大主教GeorgeBerkeiey（16851753），1734年，他署名“渺小的哲学家”出版了一本小册子分析学家，或致一位不信神的数学家。在这本小册子中，他指责牛顿的微积分理论是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零，于是贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”,39,爱尔兰红衣大主教Berkeiey的指责,GeorgeBerkeiey，16851753,存在就是被感知,连牛顿的微积分、无穷小量那样模糊不清，逻辑混乱的东西都可以相信，为什么你们却不肯相信上帝呢？分析学家，或致一位不信神的数学家(指哈雷),“我所非议的不是您的结论，而是您的逻辑和方法：您是怎样进行证明的？您所熟知的对象是什么？关于它们您的表述是否清楚？您依据的原理是什么？它们是否可靠？您是如何应用他们的？”,至于得到了正确的结论，这是“因为这个错误被另一个相反的但程度相当的错误抵消了”（指莱布尼茨）,问题的实质是连续量，无穷量的理解，而这一问题应当追溯到古希腊,为消除第一次数学危机，欧道克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。但数与量（几何）的分道扬镳，只是暂时摆脱了困境。,41,事实上，就在希腊时期，数学家芝诺就提出的四个著名的悖论：,第二个悖论是“Achilles（即阿喀琉斯）追不上乌龟”，说的是时间不可分；,第一个悖论是“两分法理论”，说运动不存在（空间不可分）；,第四个悖论是游行队伍（即运动场）理论：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点它们以相同的速度沿相反方向作运动,第三个悖论是说“飞矢不动”理论；,42,AAAA为一排静止物体，而BBBB和CCCC分别代表以相同速度作相反方向运动的物体如右图，BBBB，CCCC对AAAA而言都只移动了一个距离，二而BBBB对CCCC而言却移动了两个距离因为经过每个物体的时间是相等的，所以一半时间和整个时间相芝等,芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等”他的证明可用下面的图解来表示，其中A，B，C代表大小相同的物体,AAAABBBBCCCC,AAAABBBBCCCC,经过近200年的探索，进入19世纪，数学家们终于发现，关键问题在于“无穷小量”，在于极限的定义，在于实数的定义。,从Bolzano、Abel、Cauchy、Dirichlet等人的工作开始，最终由Weierstrass、Dedekind和Cantor彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。,Cauchy17891857,BerhardBolzano17811848，捷克，介值定理,Abel，NielsHenrik18021829（五次方程无公式解）,J.P.G.L.Dirichlet18051859,Weierstrass（德，18151897年），1834年入波恩大学攻读财务与管理，Weierstrass不喜欢父亲所选专业，于是把很多时间花在大学生自由自在的放纵生活上，专业兴趣在于数学。1838年秋，他令人惊讶地放弃成为法学博士候选人，因此在离开波恩大学时，他没有取得学位。,4年大学，耗费巨大，未得学位而归，自然使父亲极度不满。幸亏父亲的一位爱好数学的朋友出来调解，建议把Weierstrass送到明斯特附近的神学哲学院，然后参加中学教师任职资格国家考试。Weierstrass遂于1839年5月22日在该院注册,极限的定义（WeierstrassK.T.W给出）,WeierstrassK.T.W1815-1897,他在该院遇见了使他终身铭记的古德曼（Gudermann,christoph）古德曼热衷于研究椭圆函数，其基本思想是把函数展开为幂级数，这正是Weierstrass斯的解析函数论的基石。18391840学年上学期，听古德曼第一次课的有13人，可第二次起只剩下Weierstrass一人，师生促膝谈心，相处融洽古德曼还为这位唯一的学生讲授解析球面几何学。,1841年Weierstrass取得中学教师职位，除教数学、物理外，他还教德文、历史、地理、书法、植物，1845年还教体育！繁重的教学工作使他只能在晚上钻研数学。,1848年，Weierstrass在任教的皇家天主教文科中学的年鉴（18481849）上发表了“关于Abel积分论”，这是一篇划时代的论文，可惜无人觉察。1854年，Weierstrass在克雷尔杂志上发表论文“Abel函数论”。这篇出自一个名不见经传的中学教师的杰作，引起数学界瞩目。柯尼斯堡大学Weierstrass名誉博士学位，并亲赴布伦斯堡颁发证书。,1856年6月14日，柏林皇家综合工科学校任命Weierstrass为数学教授；在库默尔（德，18101893年）的推荐下，柏林大学聘任他为副教授，11月19日，他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授。,Weierstrass于1873年出任柏林大学校长。除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪。紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退。他的70华诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬。10年后80大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄。,Weierstrass在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、Abel等开创的数学分析严格化潮流中，以语言，系统建立了实和复分析的严谨基础.,1861年：,1872年：,（处处连续但处处不可导函数）,J.W.R.Dedekind,18311916,Dedekind分割,Dedekind分割（方法）：将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B，使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素。且A中无最大元，或者B中无最小元。这种划分称为有理数的一个分割，记为（A，B）。Dedekind定义每一个这样的分割确定一个实数a,记作（A，B）.,原本因为缺少Dedekind分割公理而不完备,Dedekind分割公理=Archimedes公理+Cantor区间套公理,Cantor，G.F.L.P.1845-1918集合论创始人,Cantor理论,区间套定理（几何上是公理）：,集合论：数学的基础,至此，赶走了无穷小量，第二次数学危机暂时得以消除,至此，第二次数学危机得以消除.,康托三等分集,我看到了它，但我简直不能相信它。,三、几何学的发展,（一）射影几何（二）非欧几何（三）统一的几何（四）分形几何学,（一）射影几何,19世纪初，以JVPoncelet（17881867)为代表的几何学家放弃分析的方法，采用纯粹几何的方法进行探讨他们取得了丰硕的成果，这些成果在19世纪早期是几何学的主流为了和笛卡儿的解析几何以及欧几里得几何有所区别，人们称之为近代综合几何。,解析几何问世之后，点与数组，曲线与方程构成了对应关系，从而代数与几何融合，从此，几何上许多难题（包括证明）都可以用代数（程序）解决，尤其是今天，计算机帮助下可以做许多事。,但是，代数的缺陷也在于它的程序化，一是有些题用代数方法（特别是计算机）去做，就算是解决了问题，也未必理解其中的缘由，另一方面，有时候，一道题，用代数方法去做很复杂。如果用综合方法去做，却是简洁，清晰，优美而直观，让人们的审美需求得到极大的满足，因此它一直受到一些几何学家的钟爱,射影几何,例（德扎格定理及其对偶）：,如果有两个三角形，联接对应顶点的线过同一个点O，那么对应边相交的三个点在同一条线上(对偶命题如何表述？）,又例：合同变换保距离；相似变换保简比；射影变换保交比,蒙日(法国,1953),卡尔诺(法国,1950),1799年蒙日(法,1746-1818)的画法几何学,1803年卡尔诺(法,1753-1823)的位置几何学,1822年VPoncelet(法,1788-1867):论图形的射影性质,对偶原理,VPoncelet,法,1788-1867,1826年N.l.Lobachevsky(俄,1792-1856),1816年Gauss(德,1777-1855),1832年BolyaiJnos(匈,1802-1860),1854年G.F.B.Riemann(德,1826-1866)几何,（二）非欧几何,直线有限无边，平行线不存在，即：三角形内角和大于平角,平行线无穷多，即：三角形内角和小于平角,N.l.Lobachevsky(苏联,1951),Gauss(联邦德国,1955),BolyaiJnos罗马尼亚,1960,平行公设的研究(公元前3世纪至1800年),欧几里得,普莱费尔(苏格兰,1748-1819),勒让德(法,1752-1833),从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。,18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。,意大利数学家萨凯里（G.Saccheri）在欧几里得无懈可击（1733）一书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。,有意义的进展,如图：四边形ABCD中，AD=BC，A=B且为直角。不用平行公设易证C=D。,有意义的进展,（1）直角假设：C和D是直角（2）钝角假设：C和D是钝角（3）锐角假设：C和D是锐角,萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的（科技史上常见的事实：真理擦肩而过）。而直角假设则是与平行公设等价的,1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel）在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。,稳重（胆小的？）Gauss,最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间的是Gauss。他从1799年开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”。,但Gauss没有发表过任何有关非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些发现，黄蜂就会围着耳朵飞，并会引起波哀提亚人的叫嚣”。,不幸的BolyaiJnos,1802年12月Bolyai生于匈牙利的克劳森堡.父亲是一位颇有名望的数学教授,与大数学家Gauss是同窗好友.Bolyai从小就是一个聪明伶俐的孩子,父亲对他宠爱有加,一心要把他培养成一名数学家.在父亲的悉心指导下,13岁时,Bolyai已经了解了微积分和分析力学方面的知识.为了让Bolyai受到更好的数学教育,他的父亲请求好友高斯接收Bolyai为他的学生.遗憾的是,Gauss拒绝了他朋友的请求.,不仅如此,他还是一个多才多艺的人.他喜欢运动,是一名出色的运动员;他的小提琴水平也很高,舞蹈也跳得好;他还有着惊人的语言才能,能流利地说九种语言,其中包括汉语和藏语.,1818年Bolyai考入维也纳帝国工程学院,学习军事工程,他用四年时间学年了七年的课程.Bolyai在学院里表现非常突出,几乎所有课程都名列前茅.,大约在1820年左右还在大学就读的波尔约开始对欧几里得几何原本的第五公设讲行研究.,Bolyai的父亲WolfgangBolyai也在这个行列中,他对第五公设探讨了大半辈子而徒劳无益.在得知Bolyai在从事这项研究时,他坚决反对儿子坠入在他看来是前途渺茫的深渊,他写信责令儿子必须停止这项研究,信中说:,1822年,Bolyai从学校毕业分配至军事部门,从事军事研究工作.,“它将剥夺你所有闲暇、健康、休息及你一生所有的快乐.这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔式的牛顿,这个夜任何时候也不会在大地上光明.”,但Bolyai并未被如此骇人听闻的言辞所吓倒,他调整了思路,从反面考虑命题,看否定第五公设能否引出与欧氏几何的其他公设或公理相悖的结果.,在他不遗余力的严密推理下,不但没有发现任何矛盾,反而推出一系列全新的无矛盾的结论,为此,他断言第五公设是一条独立的公设,若能找到替代此公设的“平行公设”,便可以构成一门独立的新几何.这一别开生面的思想,使他独辟蹊径,构造出了新几何学,他把它称为“绝对几何”（不含平行公设的几何学）,经过几年的艰苦努力,Bolyai于1823年写成了著名论文空间绝对几何学,时年21岁.11月3日,他兴奋地给父亲发出信函:“我已从乌有创造了另一个全新的世界”.,1825年Bolyai约回家探亲,向他父亲详细解释了他的发现.然而,波尔约的一腔热情换回来的确是父亲的冷淡.他的父亲不相信那么多大数学家都没能解决的问题会让自己年纪轻轻的儿子攻克,同时,Bolyai突破传统的异端想法也让保守的父亲难以接受,父亲的态度让Bolyai感到十分失望.,1831年6月20日他的父亲写信给Gauss,并将儿子附录样稿寄给他,希望得到他的支持.不料回信却是一瓢凉水,在给Bolyai的父亲的复信中说:“我不能称赞你的儿子，称赞他就等于称赞我自己.整篇文章的内容,您儿子所采取的思路和获得的结果,与我在30到35年前的思考不谋而合.”,1829年Bolyai的父亲完成了著作写给好学青年的数学原理.1831年Bolyai再次探望他的父亲时,他已能完全理解Bolyai的工作的重要意义,并将Bolyai的论文作为他书中附录之一出版.,1826年,Bolyai又把他的论文寄给母校的数学老师,请求评审和支持,但却没有任何回音.,此时Bolyai还不知道,俄国数学家Lobachevsky已在1826年先于他发表了和他一样的成果.当他在1848年看到Lobachevsky的论文时,他变得更加怒不可遏,他甚至怀疑根本不存在Lobachevsky这个人,而是Gauss搞的鬼.他的父亲倒很开通,安慰他说:“春天的紫罗兰在各处盛开.,Bolyai思想深邃,又不囿于传统,这是一个前途不可限量的年青人,然而一系列的打击让这个充满活力的年青人变得极为消沉.除了发表附录之外,他再没有做非欧几何方面的进一步的研究,他不再发表数学论文.这对数学界来说,不能说不是一个损失.造成Bolyai这种悲剧性的命运,高斯淡然的评语对Bolyai来说是一个沉重的打击,他一度怀疑高斯剽窃了自己的成果.同时,他的论文历尽艰辛出版后却没有引起多少反应.这一连串的打击使Bolyai的脾气变得十分暴躁,成了一个难以相处的人.,几何学上的“哥白尼”Lobachevsky,1792年12月1日，Lobachevsky基出生在俄国下诺夫哥罗德城的马卡晨耶夫地区。父亲是一位土地测量员，在Lobachevsky8岁的时候，因病辞去了工作。1802年，顽强的母亲顶住沉重的经济压力，把罗巴切夫斯基兄弟3人送进喀山中学寄读。,1807（15岁）年，Lobachevsky进入喀山大学物理数学系学习。1811年，他被授予物理数学硕士学位，并开始留校工作。,1816年，年仅24岁的Lobachevsky就晋升到了普通教授的位置。1827年，喀山大学委员会推选他为大学校长。,就职演说前，每一个人都试图站起来驳斥他，但是，听完演说后大家都哑口了，因为虽然大家不能理解他，但是他的观点却在逻辑上是不能驳斥的。于是只能表示对这个数学怪人深深地同情。,1826年2月23日被誉为非欧几何的诞生日。,Lobachevsky于1826年2月23日在喀山大学发表了就职演说：几何原理和平行理论的严格证明简述，而后又于1829年发表了论几何原理的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文发表在喀山通讯上的而未引起数学界的重视。1840年用德文出版的平行理论的几何研究引起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会会员,Riemann的工作,GeorgFriedrichBernhardRiemann（18261866）的一生非常短暂，而且极度贫困，对数学的贡献只能集成一本薄薄的平装本，但他却是科学史上的一位枢纽人物，100多年后的今天，他的思想还能够让人们感到最强烈的震撼。,惟有Riemann这个孤独而不被世人了解的天才，在上个世纪中叶便发现了空间的新概念空间不再一成不变，空间参与物理事件的可能性才开始显现。,AlbertEinstein,一个象Riemann这样的几何学者几乎可以预见到现实世界的更重要的特征,A.S.爱丁顿（ArthurStanleyEddington，1882-1944）,借助于Riemann几何与张量分析（黎曼创立），爱因斯坦最终创建了广义相对论。,在爱因斯坦看来，狭义相对论的发现是水到渠成的事情。因为即使他不发现，其他科学家也会在10年内发现，所以爱因斯坦并不特别以发现狭义相对论为荣。但对于广义相对论的发现，爱因斯坦就深以为荣了，因为他认为，如果不是他发现了广义相对论，人类也许要晚上百年才能发现。,1854年，Riemann为取得哥丁根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年以关于作为几何学基础的假设为题出版。,爱因斯坦相对论的重大意义无人不知，但是相对论的建立有个重要的“幕后英雄”，那就是建立起特殊几何体系的黎曼。,因而Riemann继Gauss、Bolyai和Lobachevsky以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。,在他看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一束平行线，就得到第三种几何学(即Lobachevsky几何学)。,非欧几何的发展与确认,非欧几何理论公开后，许多人群起攻之，说新几何是“荒唐的笑语”，是“对有学问的数学家的嘲讽”等。,1855年，Gauss逝世，从笔记中发现了他关于非欧几何的研究，于是引起了人们的重视。,1869年意大利数学家Beltrami，(18351899）给出了罗氏几何的伪球模型,1871年F.C.Klein(18491925)给出了几何模型.,1882年Poincar,J.-H.（1854-1912）给出了几何模型,非欧几何的发展与确认,虽然逻辑上已经证明了非欧几何的无矛盾性，但是当时的学术界都认为，欧氏几何才是现实物理世界的几何，唯有哲学家DavidHume（1711-1776年）反对.,1915年，以黎曼几何为工具的相对论诞生了，理论上证明了现实物理空间是非欧几何的。,星光在太阳引力场中弯曲,1915年爱因斯坦的广义相对论发表，并计算出星光在穿过太阳附近时所产生的偏折角度为1.75角秒。这就是广义相对论的“光线偏折”的预言。,1919年5月29日，日全食，英国派出两支日食观测队，一支到南美洲巴西的索贝瑞尔(Sobral)，由戴森亲自领队；一支到非洲西岸的普林西比岛(Principe)，由爱丁顿领导。,非欧几何的确认与发展,但他是一位相信“观测事实是判断理论是否正确的”的科学家，参加过多次以检验爱因斯坦理论为目的的日食观测，他的怀疑也是因为他自己没有找到“证据”。1922年，他又一次为观测日食来到澳大利亚，周密地准备使观测精度有了提高。得到了1.720.11角秒的结果。坎普贝尔曾经公开表示，爱因斯坦理论是错误的，但是当他的观测结果证实了爱因斯坦理论的正确性，立刻承认他的过失，决不再反对广义相对论了。,相对论得到实验证实的同时，非欧几何的现实性也得到了实验证实。,在对爱因斯坦的广义相对论持怀疑和反对的天文学家中，美国坎普贝尔教授最有代表性。,假如我们生活的空间是一个双曲面（不是平面），我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度.,欧氏几何与非欧几何比较,但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。,再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个三角形就是黎曼三角形。,1872年F.克莱因(德,1849-1925)的爱尔朗根纲领,统一的几何学,单重椭圆几何的曲面模型(半球模型)，实际上这是射影平面,非欧几何的意义,1.真理往往掌握在少数人手中.公认的未必是正确的.不仅应当怀疑，还应当有勇气,有毅力坚持(例：约翰.鲍耶).2.应当正确理解数学的“真理”性（英国哲学家DavidHume，17111776的慧眼），数学的本质在于自由！3.“非此即彼”的观点是片面的，应当学会包容！3.名人效应与名人困惑。4.“美”是数学研究的内在动力（务实与务虚的关系）5.公理化运动的产生6.教师须知：学生永远是聪明的，没有笨的学生，只有笨的老师！,Hilbert的公理化方法,非欧几何的出现，使数学家多重反思，人们认识到几何原本把公理当作自明的真理是错误的，并且它是一种实质化公理体系.因此，必须修正.,反思中，人们认识到：任何一个公理系统应当具有相容性（无矛盾性，必须的），独立性（非必须）与完备性（非必须）,相容性：要求公理体系的各个公理以及由此得出的每一命题不能相互矛盾.,独立性：要求公理体系的公理足够少，每一个公理都不能由其余公理推出.,完备性：要求公理体系的公理足够多，以至于体系中的每一个命题都只能由这些公理推出.,Hilbert几何公理体系,DavidHilbert（德国数学家，18621943）是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心.,在1900年巴黎国际数学家代表大会上，DavidHilbert发表了题为数学问题的著名讲演。提出了23个最重要的数学问题(Hilbert问题),指导着全世界数学家的研究方向.,几何基础的第一版於1899年出版,Hilbert在这本书中建立了新的几何公理体系，它由五组（20条）公理，三种关系，六个原始概念组成.区别于原本的是它是“形式化”公理体系。,从几何基础出发，Hilbert发起了著名的公理体运动，试图将所有比较成熟的科学都公理化.,几何基础中，借助于代数化，希尔伯特证明了“如果算上系统是无矛盾的话，欧氏几何也是“天衣无缝”的。,（四）分形几何学（有专题，略）,1.什么是分形，分形的特点分形学的起源、形成于发展分形学应用（略）3.分形图欣赏,反例1，Cantor三分集（1883年）,Cantor三分集的一些基本性质,1.Cantor集是自相似的.2.Cantor集有“精细结构”.3.Cantor集的定义简单明了.4.Cantor集是由一个迭代过程得到的.5.Cantor集的几何性质难以用传统的语言来描述.6.Cantor集的长度等于0，但点的个数是不可数的.,反例2，Weierstrass函数(1872年）,处处连续、处处不可微的函数。,反例3，VonKoch雪花曲线（1904年）,97年在英国Silbury的麦田圈,1.什么是分形,分形是一种具有自相似特性和无限的细致性的现象、图象或者物理过程。,4）多数情况下，分形可以用非常简单的方法确定，可能由迭代产生,分形的特征：,1）具有自相似性和无限细致性,2）具有非拓扑豪斯道夫维数大于对应的拓扑维数,3）具有随机性，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述,分形几何：,研究分形图形的几何,名词解释,自相似性与全息性,自相似是全息性的扩张！,自相似：总体，部分及其相互间的结构或性质所具有的相似性，或者在几何变换下的性状相似性.,一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.,全息性:整体与局部的同一，即局部包含整体的信息,F.Hausdorff维数与几何维数（拓扑维数）,Hausdorff维数（通俗表达）：,即：,如果我们把集合E沿每个方向放大为原来的倍，得到的新集合可以由N=d个集合叠加而成，则称集合E的分形维数是d.,实例:,Weierstrass函数的豪斯道夫维数未知.,分形集合的基本特征,E具有精细的结构，即有任意小比例的细节。E是如此的不规则以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述E通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的。一般地，E的“分形维数”（以某种方式定义）大于它的拓扑维数。在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常简单的方式定义，可能由迭代产生。,2.分形学的起源、形成与发展,西方医学之父希波克拉底（Hippocrates，约公元前460-377年）指出：“如果有人即使在身体很小部分引起损害，全身都感到痛苦，其所以如此，是因为在身体的最大部分中所存在的，也同样存在于最小部分中，这个最小部分.本身具有一切部分，而这些部分是相关联系着的，能把一些变化传播给所有的部分。,公元2至4世纪的成于印度的华严经有一个因陀罗网的隐喻：因陀罗的天堂里有一张宝石的网，你可以从其中的一个看到反映出来的其他所有宝石。世界上