第13讲-主应力法

材料成形原理CPrincipleofMaterialFormingC,第十三讲LessonThirteen,李振红LiZhenhongPhone-Mail：hflzh南京工程学院材料工程系DepartmentofMaterialScienceandEngneeringNanjingInstituteofTechnology,2,第六章主应力法及其应用,主要内容MainContent主应力法基本原理平面应变镦粗型的变形力平面应变挤压型的变形力轴对称镦粗型的变形力轴对称挤压型的变形力主应力法在塑性成形中的应用接触面上的摩擦切应力及其对压应力分布的影响,教材第六章-P186-205,3,6.1解析法的解本思路,1、基本假设（1）连续的，宏观的（2）确定的描述方程+边界条件求定解2、描述方程，基本方程平衡方程几何方程物理方程屈服准则边界条件连续方程塑性变形体积不变,4,（1）平衡方程,（2）几何方程,（3）物理方程,弹性,塑性,增量理论,全量理论,弹塑性增量理论,应力应变速率方程,5,（4）边界条件,物体外表面为S，Sd和St分别表示位移和外力,位移给定值,外力给定值,（5）补充方程,屈服准则,连续方程,塑性变形体积不变,有3+3个方程,6,3、求解,在边界条件,下求解,7,4、基本解法,位移法,以位移为未知量，经过几何方程和物理方程，得到一位移表示的应力诸分量。然后带入平衡方程，得到位移表示的平衡方程。在边界条件下，从平衡方程解出连续且单值的位移。再按几何方程求出，此时将自动满足协调方程。进而按物理方程求出，此时将满足平衡方程。,ui,几何方程,物理方程,平衡+边界,(ui),物理方程,8,以满足平衡条件的应力诸分量为未知量，经过物理方程得到应力表示的应变诸分量。在利用几何方程的积分应变求位移ui时，要求积分为单值，即积分只依赖于积分路线，必须使被积函数满足全微分条件；对几何方程求积分的全微分条件就是变形协调方程。为保证此条件成立，应将以应力表示的应变诸分量带入协调方程，结合边界条件解出，再按物理方程求相应的应变分量，此时利用几何方程积分，即可得到单值的位移分量ui。,应力法,物理方程,协调方程+边界条件,物理方程,几何方程,ui,9,5、主应力法的基本方法（切块法）,实质是将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。将问题简化成平面问题或轴对称问题。根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上的正应力假定为主应力，且均匀分布。不考虑剪应力以材料屈服方程的影响。,10,主应力法是最早用于工程上求解塑性加工变形力的一种方法，因此也叫做工程法。在求解过程中由于以平截面截取分离体建立力平衡微分方程，又假定所截平面为主平面以及应力在截面上均匀分布，所以此法又称为平截面法、平均应力法。,11,一般概念,概念：是一种以满足静力许可条件为前提，计算变形力的方法，此法求得之解为下界解。,求解方法：联立求解力平衡微分方程与屈服条件，然后利用应力边界条件计算积分常数，从而求得应力分布函数，进而求得变形力。,适用范围：平面变形或轴对称变形,一、主应力法,12,概念：为了使所得的解析式比较简单，主应力法在求解过程中通常要对问题进行简化处理，所得结果只是近似结果，因而得到近似主应力法。,二、近似主应力法,求解方法：以满足静力许可条件为前提，但对其进行了近似处理，从而较简便地求得应力分布函数，进而求得变形力。,13,早期主应力法的实质是在给定的应力边界条件下联解近似屈服条件和近似力平衡微分方程，为近似主应力法。为了提高解的精度，后期的主应力法采用了较精确的屈服条件和力平衡微分方程，逐步发展为主应力法。,14,三、简化处理方法,由于在采用主应力法联立求解力平衡微分方程与屈服条件时，经常遇到一些不易解决的困难，故近似主应力法对力平衡微分方程与屈服条件等进行了简化处理，从而使求解过程简便易行。,15,6.2平面应变镦粗型的变形力,设,设长度为l,屈服方程为,联解(1)(2)得,(1),(2),y,16,最后得,单位面积平均变形力为,当工件宽度为b高度为h时,(3),(4),工件外端为自由表面,由（3）得,(5),(6),由（4）得,17,平衡微分方程和塑性条件联立求解的数学解析法（附加内容）,对一般空间问题，在3个平衡微分方程和一个塑性条件（屈服准则），4个方程求6个未知数，静不定问题。,利用6个应力应变关系和3个变形连续方程，共得13个方程，求13个未知数但此方程组无法求解。,对于轴对称问题，2个平衡微分方程和1个塑性条件，再利用4个应力应变关系式和2个变形连续方程，共得9个方程和9个未知数，但只有在边界上剪应力只与一个坐标轴有关时才有解。,18,对于平面问题，2个平衡微分方程和1个塑性条件，求3个未知数，当边界上的剪应力为零或只与一个坐标轴有关时，才有解。,19,以平砧压缩矩形件为例,力平衡微分方程,为使其简化，通常将变形过程近似地视为平面变形或轴对称变形问题，并假设正应力与一个坐标无关。,和,20,力平衡微分方程的简化,21,如果假设切应力在轴方向上呈线性分布，则,假设与轴无关，则,力平衡微分方程可简化为,22,也可以采用x轴方向的受力平衡建立力平衡微分方程,23,对屈服条件的简化,平面变形时，其Mises屈服条件为,在近似工程法中，常假设工具与工件的接触面为最大切应力平面，此时有,24,对边界条件的简化,近似工程法中，将非自由边界也按自由边界处理,时，,时，,工程法中，非自由边界的处理方式为,25,近似处理带来的后果,只能得到接触面上的应力分布，以及变形力的大小，但不能求得工件内部的应力分布。使人们对其解的评价产生一定的困难。,26,例题,矩形板镦粗,已知：长L、宽D、高为h，la接触面上的剪应力为，沿L方向应变为0。平面变形问题。假设：变形无畸变（出现鼓形），与x无关,y,x,解：,平衡方程只分析第一象限,a,p,h,对一式和2式分别对Y和X微分得,1式减2式得,27,屈服条件Mises条件,与x无关，且仅为Y的函数时，才可解,当y=0时，=0,代入平衡方程得,a,h,p,（2）代入（1）得,积分得,得,（5）,28,代入屈服准则式（2）得,在x=、y=0处，有,当变形力,单位流动压力,a,h,p,积分得,上式左式为X的函数，右式为Y的函数，令等于常数C,代入6式得,（6）,（7）,x,29,轴对称挤压型的变形力,由静力平衡关系,简化屈服方程,联解（1）（2）（3）得,(1),(2),(3),(4),30,由几何关系得,代入（4）前述算式积分得,当z=ze时，,(5),(6),(7),(8),当z=0处，即为挤入深度为ze所需的单位变形力,31,拉延凸缘变形区的应力分布,应用主应力法可以求解凸缘区的应力分布。设拉延过程中板厚不变，且暂不考虑外摩擦影响,从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，由径向合力为0得,(1),32,略去高阶微量，整理后得,(2),式中应力为绝对值表示,因处于塑性状态，根据Mises