第10章-常微分方程初值问题的数值方法

2020/5/30,1,第十章常微分方程初值问题的数值解法,第一节求解初值问题数值方法的基本原理,第二节高精度的单步法,第三节线性多步法,第四节一阶微分方程组的解法,第五节边值问题的打靶法和差分法,2020/5/30,2,考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:,只要f(x,y)在a,bR1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a,b上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。,第一节求解初值问题数值方法的基本原理,(10-1),一、初值问题的数值解,2020/5/30,3,要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x10,使得,对一切成立,则该方法收敛,且有,由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶,对改进的Euler法,2020/5/30,17,于是有,设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得,限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.,2020/5/30,18,例：考察初值问题在区间0,0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,3.稳定性,2020/5/30,19,定义,若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的/*absolutelystable*/。,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*testequation*/,常数，可以是复数,2020/5/30,20,2020/5/30,21,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,2020/5/30,22,第二节高精度的单步法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一、Runge-Kutta法的基本思想（1）,2020/5/30,23,2020/5/30,24,Runge-Kutta法的基本思想（2）,2020/5/30,25,2020/5/30,26,Runge-Kutta法的基本思想（3）,2020/5/30,27,二、二阶龙格库塔方法,2020/5/30,28,2020/5/30,29,2020/5/30,30,2020/5/30,31,三、三阶龙格库塔方法,2020/5/30,32,四、四阶龙格库塔方法,2020/5/30,33,2020/5/30,34,2020/5/30,35,两点说明:,2020/5/30,36,五、变步长的龙格库塔方法,2020/5/30,37,R-K方法的绝对稳定区域,2020/5/30,38,2020/5/30,39,第三节线性多步法,2020/5/30,40,2020/5/30,41,一、线性多步公式的导出,2020/5/30,42,2020/5/30,43,2020/5/30,44,2020/5/30,45,2020/5/30,46,2020/5/30,47,2020/5/30,48,2020/5/30,49,2020/5/30,50,二、常用的线性多步公式,2020/5/30,51,2020/5/30,52,2020/5/30,53,利用数值积分方法求线性多步公式,2020/5/30,54,2020/5/30,55,2020/5/30,56,2020/5/30,57,2020/5/30,58,2020/5/30,59,2020/5/30,60,2020/5/30,61,2020/5/30,62,三、预测校正系统,用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值yn+1这样一组计算公式称为预测校正系统。一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预测校正系统有两种：,2020/5/30,63,2020/5/30,64,用局部截断误差进一步修正预测校正公式,2020/5/30,65,2020/5/30,66,2020/5/30,67,2020/5/30,68,2020/5/30,69,第四节一阶微分方程组的解法,一、一阶微分方程组,2020/5/30,70,2020/5/30,71,2020/5/30,72,