计算方法第7章常微分方程

第七章常微分方程数值解,本章研究一阶常微分方程初值问题的数值解。常微分方程分为线性,非线性两类,线性微分方程是非线性微分的特例.而高阶可化为一阶方程组.若将方程组中的未知量写成一个向量,那么本章所涉及的方程表示为,近似方法有两类:一类是近似解析方法.如级数解法,逐次逼近法等;另一类就是数值解法,它可以给出解在一些离散点上的近似值.,在使用数值法求解之前,需要考虑解的存在性和唯一性问题.有如下定理:,数值解,定理7.1设f(x,y)在D=(x,y)|axb,yR上有定义且连续,同时满足如下李普希茨(Lipschitz)条件,则对a,b,R,初值问题(7.1)在a,b上存在唯一的连续可微解y(x).(7.2)中L称为李普希茨常数.,求解之前,应检验是否满足Lipschitz条件.,如果f(x,y)对y可导,且,有界,则令,则问题(7.2)一定满足Lipschitz条件.因为：,要计算出数值解,实际上就是求对应于一系列已知节点a=x0x1xn=b处的函数值y0,y1,yn,通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,记理论解为y(xn),数值解为yn,fn=f(xn,yn),数值解,节点间距,称为步长，,7.2欧拉(Euler)方法,1.泰勒函数展开对y(x)在xn点泰勒展开,并令x=xn+1得:,略去误差项,有,假设y(x)充分连续可微.下面是导出欧拉(Euler)方法的三种途径.,2.数值微分由导数的定义知:当h充分小时有:,即同样可得公式(7.5):,3数值积分在xn,xn+1上对积分得,利用数值积分的左矩形公式得,即同样可得公式(7.5):,在公式(7.5)中分别用yn,yn+1近似代替y(xn),y(xn+1)得:,(7.6)称为欧拉折线法,简称欧拉(Euler)法.,欧拉法,例1（p198）：用欧拉法求解初值问题,在0,1上的数值解,取h=0.1,并与精确解比较.精确解为:,因为,由欧拉法求解公式得:,解:,计算结果见p198,7.2.2隐式公式及改进的欧拉方法,利用数值积分的右矩形公式得,进一步得,这是一个隐式方法.,称为隐式欧拉法,利用数值积分的梯形公式得,得:,这也是一个隐式方法,精度比欧拉法好，但不便计算。一般用下式计算：,通常采用的算法:,称作预估-校正法,也称改进的欧拉法,改进的欧拉法也可以写成:,例2(p200):用预估-校正法(7.14)求解例1中的初值问题.,与（7.13）等价哟,设,则依公式(7.14)得:,计算结果见p201,解:,定义：假设,7.2.3误差分析,则称误差,为局部截断误差。,欧拉公式的局部截断误差分析设yn=y(xn),则有此时欧拉公式可写成,对精确解y(x),由泰勒公式得,所以欧拉公式的局部截断误差为:,就是,(*),2.改进的欧拉公式的局部截断误差分析,由于,所以,将K1,K2代入公式(7.14)中得,，两边对x求导：,(*),(*)-(*)得到改进的欧拉公式的局部截断误差为,类似地,梯形公式的局部截断误差为,如果单步差分公式的局部截断误差为O(hp+1),则称该公式为p阶方法,这里p为正整数.由此知欧拉法是一阶法,改进的欧拉法和梯形法为二阶方法.,7.3龙格-库塔(Runge-Kutta)方法,7.3.1龙格-库塔方法的构造为了得到高阶的单步显式差分公式,我们可以对y(x)在xn处进行泰勒展开:,于是可得差分公式,其中:,由于涉及到高阶复合函数的导数,计算较困难.下面介绍如何化解此困难.,以2阶方法为例,设,对K2的右端在(xn,yn)处做一阶泰勒展开,从而,而y(xn+1)在xn处的泰勒展开式为,令yn=y(xn),比较(7.16)和(7.18),得,这是一个有三个方程四个未知数的方程组.,有无穷多解,所以有无穷多个二阶龙格-库塔方法.令,得改进的欧拉法.,令,得中点公式,即,令得休恩公式，即,高阶龙格-库塔公式可作类似地推导。下面是常用的三阶，四阶龙格-库塔公式。,三阶龙格-库塔