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文档简介

习题课,一、重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,第21章,重积分,一、重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,(从内到外:面、线、点),3.掌握确定积分限的方法,累次积分法,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性或重心公式简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,4.利用重积分换元公式,三、重积分的应用,1.几何方面,面积(平面域或曲面域),体积,形心,质量,转动惯量,质心,引力,证明某些结论等,2.物理方面,3.其它方面,例1.计算,其中L是以A(1,0)为圆心，,为半径的顺时针圆周。,解:,如果,令,如果,顺时针椭圆周。,例2.,计算积分,其中D由,所围成.,解:如图所示,连续,所以,其中为由,例3.计算三重积分,所围成的立体。,解:,旋转面方程为,法1,令,法2,令,令,法3,令,解：用极坐标计算，（如图）,例4.计算积分,解法1,例5.,解法2,D关于y=x对称，故,(1)计算,解:,(2)计算,利用广义极坐标,例6.计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,(2)积分域如图:,将D分为,添加辅助线,利用对称性,得,解：,其中是由,其中是关于的奇函数,同理,例7.计算三重积分,投影区域：,在柱面坐标下：,例8.计算二重积分,其中D是由曲,所围成的平面域.,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,例9.计算三重积分,解:,利用形心坐标,例10.计算二重积分,在第一象限部分.,解:(1),两部分,则,其中D为圆域,把与D分成,作辅助线,(2),两部分,说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D分成,例11.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,例12.,解:在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,例13.,证明,证:左端,=右端,例14.,设函数f(x)连续且恒大于零,其中,(1)讨论F(t)在区间(0,+)内的单调性;,(2)证明t0时
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