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文档简介

-8.1Euler方法,第8章常微分方法的数值解法,8.1.2局部误差和方法的阶,8.1.1Euler方法及其有关的方法,第8章常微分方法的数值解法,教学目的1.掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2.掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3.了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。教学重点及难点重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。,第8章常微分方法的数值解法,以上两个例子是常微分方程初值问题，下面是一个两点边值问题的例子。设一跟长为L的矩形截面的梁，两端固定。E是弹性模量，S是端点作用力，I（x）是惯性矩，q是均匀荷载强度，梁的桡度y（x）满足如下方程,针对实际问题建立的数学模型，要找出模型解的解析表达式往往是困难的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的数值解法，即计算解域内离散点上的近似值的方法。本章讨论常微分方程数值解的基本方法和理论。,8.1Euler方法,8.1.1Euler方法及其有关的方法,考虑一阶常微分方程初值的问题：,设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题（8.1.1）进行离散化。一般是引入点列，这里为步长，经常考虑定长的情形，即。记为初始问题（8.1.1）的问题准确解在处的值，用均差近似代替（8.1.1）的导数得,令为的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得,从处的初值开始，按（8.1.2）可逐步计算以后各点上的值。称（8.1.2）式为显式Euler。由于（8.1.3）式的右端隐含有待求函数值，不能逐步显式计算，称（8.1.3）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果将（8.1.2）和（8.1.3）两式作算术平均，就得梯形公式。,（8.1.4）,用梯形公式有,三种方法及准确解的数值结果如表8-1所示。从表中看到，在处，Euler方法和隐式Euler方法的误差分别是和，而梯形方法的误差却是。,在例8.1中，由于f（x，y）对y是线性的，所以对隐式公式也可以方便地计算。但是，当f（x，y）是y的非线性函数时，如，其隐式Euler公式为。显然，它是的非线性方程，可以选择非线性方程求根的迭代求解。以梯形公式为例，可用显式Euler公式提供迭代初值，用公式,假设f（x，y）关于y满足Lipschiz条件，则有,这里，L是Lipschiz常数。当hL/21即h2/L时，迭代序列收敛。,由得计算结果如表8-2。该初值问题的准确解
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