课程总结课件

,四川省省级精品课程实变函数论,主讲人：魏勇,课程总结,1.实变函数论的内容,顾名思义：实变函数论即讨论以实数为变量的函数中学学的函数概念都是以实数为变量的函数大学的数学分析，常微分方程也是研究的以实数为变量的函数实变函数论还有哪些内容可学呢？简单地说：实变函数论只做一件事:恰当的改造积分定义使得更多的函数可积，使得操作更加灵活。,Rieman积分的缺陷：,Rieman积分缺陷产生的根源：,分划呆板、苛刻：必须将定义域分成区间，无论区间多么小(x)的最大值都是，最小值都是导致(x)的大小和之差恒为，无法任意小。,克服Rieman积分的缺陷的新思路：,实现新思路的攻关路线：,首要问题：如何规定这个不一定规则的集合之“长度”(即测度)?,伴随问题1：由有限个区间外包，内填得Jordan内、外测度对有理数集内外测度不等，从而不可测，因此，不满意。,伴随问题：将有限个区间外包、内填改为可数个区间外包后得Lebesgue外测度，解决了有理数集可测的问题，但无理数问题仍然内、外测度不相等，问题未得到彻底解决！,实现新思路的攻关路线（续）：,伴随问题：正视不可避免的问题，退而求其次，在现有可测条件下，探索哪些函数满足,伴随问题：将区间内填改为可数个区间外包后得m*（）为Lebesgue内测度，解决了无理数集可测的问题，但仍然存在不可测集。,并称这样的函数为可测函数,实现新思路的攻关路线（续）：,伴随问题：可测函数类与简单函数、连续函数之间的联系,伴随问题：可以多种途径都定义可测函数时选择简单者，并证明等价性。,魏勇在高等数学研究年期主张用,积分定义的改造方法：,方法：随机应变对非负函数规定（魏勇在四川师范学院学报年期）,方法：根据初衷规定,为什么叫随机应变，因为测度和可测函数概念本来是为按方法改造积分定义而引入，但在讨论可测函数时发现，函数可测就是函数下放图形可求测度，既然如此，为何不直接根据ieman积分的集合意义出发，直接规定Lebesgue积分为图形的Lebesgue测度呢？,新积分可积范围宽广的原因,包括了区间上的所有连续，逐段连续函数,定义域可以不很规则，可测即可,可以在零测度集内任意修改函数值，不影响可积性和积分值（既体现范围宽广，又体现操作灵活）,几乎处处概念：几乎处处相等几乎处处收敛几乎处处连续,新积分操作更加灵活的原因,渐升非负可测函数列积分与极限交换顺序无条件（Levi定理）,非负可测函数逐块积分无条件,可测函数列积分与极限交换顺序“控制”、“收敛”都可以不全。（Lebesgue定理）,非负可测函数逐项积分无条件（Lebesgue定理）,“不全”体现在：几乎处处满足控制条件，几乎处处收敛、依测度收敛，基本上一致收敛,这些收敛之间以及与旧收敛之间的关系,即使不收敛，还可以估计下极限函数的积分（atou引理）,集合运算重要性体现在何处？,开集、闭集、可测集的构造，可测集合的相关集合可测，可测函数的相关函数可测,可测函数列的收敛点集、发散点集的描述。几种收敛之间的关系，几类函数之间的关系。,可积函数的性质证明：如积分唯一性，几乎处处有限性，积分绝对连续性。,4如积分值的规定的确定性，Levi定理的证明。,“势”的重要性体现在何处？,区分“无限”，尤其是“可数”与“不可数”,可列可加性不能简单说可加性。,“个数”与“测度”之间既有区别，又有联系有限与可数集（至多可数集）测度为0，但测度为0可以是C势集,可数个相加为，不能说任意多个相加为。,逐块（只能分成有限或可数块）积分不能说逐点积分,结构研究有何好处？,开集结构深化了对开集、闭集、完备集的直观理解，导致了开集体积的规定，测度的规定,可测集的结构深化了对集的直观理解。,结构的利用：（由简单到复杂，由具体到抽象，由特殊到一般）,可测函数的结构（从简单、连续、非负、图象可测四个角度）,运算封闭性研究有何好处？,可测集的交并余差运算结果可测,可测函数的和、差、积、商，绝对值、最大值、最小值、上确界、下确界，上极限、下极限仍然可测。,3开集对有限交、任意并运算封闭闭集对任意交、有限并运算封闭,4.至多可数对至多可数次交、并差运算封闭,除新积分概念