实变函数论课件17

第17讲Lebesgue积分的性质,目的：掌握一般可测函数积分的定义，熟悉它与广义Riemann积分的异同，掌握并能证明一般可测函数积分的性质。重点与难点：一般可测函数的积分与广义Riemann积分的异同，可测函数积分的性质。,第17讲Lebesgue积分的性质,基本内容：一有界可测函数积分的性质（续）问题1：如果f(x)是区间a,b上的非负Riemann可积函数，且abf(x)dx=0,则f(x)=0。如果将区间换成有限测度集，非负Riemann可积函数换成非负可测函数，结果如何？,第17讲Lebesgue积分的性质,问题2：如何用集合表示f(x)0的那些点？问题3：问题1中，有没有可能f(x)0？,第17讲Lebesgue积分的定义与性质,定理3设f是E上的有界可测函数,若且则证明：任取正数，则由积分的可加性，得,第17讲Lebesgue积分的定义与性质,由于故，又由积分的单调性得于是，然而由假设，所以，,第17讲Lebesgue积分的定义与性质,特别地，对任意进而证毕。,第17讲Lebesgue积分的性质,二一般可测函数的积分问题4：如果E是有限测度集，f(x)是E上的非负可测函数（可能无界），如何将有界可测函数的积分推广到这种情形？,第17讲Lebesgue积分的性质,（1）有限测度集上非负可测函数积分的定义问题5：如果E是有限测度集，f(x)是E上的可测函数（可能无界，也未必非负），如何将有界可测函数的积分推广到这种情形？,第17讲Lebesgue积分的性质,与广义Riemann积分类似，Lebesgue积分也分无界可测函数以及定义域为无限测度集等情形。但其定义与广义Riemann积分有所不同。定义2设是E上的非负可测函数，对每一正数m，令,第17讲Lebesgue积分的性质,则是E上的非负有界可测函数，由定理1知每个在E上可积，由于是单调数列，故总是存在的（允许等于+），记，称为在E上的积分，若，则,第17讲Lebesgue积分的性质,称为E上的Lebesgue可积函数。(2)有限测度集上一般可测函数积分的定义问题6：如果mE=,如何定义E上非负可测函数的积分？,第17讲Lebesgue积分的性质,定义3设是E上的可测函数，若在E上的积分至少有一个不为+，则称在E上有积分，并记若为有限数，则称在E上Lebesgue可积。,第17讲Lebesgue积分的性质,容易看到，若是E上有界可测函数，则与前面定义的积分是一致的，特别应该注意的是，称在E上Lebesgue可积当且仅当其正部及负部都可积，因此，显然有在E上Lebesgue可积当且仅当在E上Lebesgue可积。这与,第17讲Lebesgue积分的性质,Riemann积分大不相同，例如，若则不难证明，是0，1上的广义Riemann可积函数，然而不是广义Riemann可积的。,第17讲Lebesgue积分的性质,（3）无限测度集上非负可测函数的积分定义问题7：如果mE=,如何定义E上一般可测函数的积分,第17讲Lebesgue积分的性质,定义4设是E上的非负可测函数，对任意正整数m，令，其中，显然在每个Em上有积分（积分值可能为+），记,显然Jm是单调递增的，故极限总是存在的。定义在E上的积分为,第17讲Lebesgue积分的性质,若为有限数，则称在E上Lebesgue可积。(4)无限测度集上一般可测函数积分的定义定义5设是E上的可测函数，对任意正整数m，同定义4，记,第17讲Lebesgue积分的性质,若与至少有一个不为+，则称在E上有积分并记若均为有限数，则称在E上Lebesgue可积。,第17讲Lebesgue积分的性质,三可积函数积分的性质问题8：对Riemann积分而言，f与|f|的可积性是否相同？对Lebesgue积分而言，情形又如何？f与|f|的可积性,第17讲Lebesgue积分的性质,可以证明：对E上任一非负可测函数f，有所以定义5中的积分也可以定义为,第17讲Lebesgue积分的性质,从定义5不难看到，可积性与的可积相同，即有定理4设是可测集E上的可测函数，则在E上Lebesgue可积当且仅当在E上Lebesgue可积。,第17讲Lebesgue积分的性质,问题9：有限测度集上有界可测函数的积分性质能否推广到一般可测函数的积分情形（包括有限测度集上的可测函数与无限测度集上的可测函数）？,第17讲Lebesgue积分的性质,定理2中的（i）(iv)对于一般可积函数也同样是正确的。其证明需实施一下极限手续。*定理5如果E是可测集，则(i)当在E上可测，在E上非负可积，时，也在E上可积，且,第17讲Lebesgue积分的性质,证明因为，故当时，有,第17讲Lebesgue积分的性质,其中是任意正整数，于是由积分定义立知可积，且。(ii)当是E的互不相交的可测子集，在E上有积分时，在每一Ei上有积分，且,第17讲Lebesgue积分的性质,特别地，当是E上的非负可测函数时，证明只需就情形证之，一般情利用归纳法可证。由定理2知，对任意正整数有,第17讲Lebesgue积分的性质,施行极限手续后立知显然当存在时，与,第17讲Lebesgue积分的性质,都存在，且由此可见f在E上可积时，f在上均可积，且当f可积时，有(iii)对任意常数c，。证明不妨设，由于,第17讲Lebesgue积分的性质,且，故同理所以,第17讲Lebesgue积分的性质,(iv)若都是E上的可积函数，则证明首先设都是非负可测函数，注意到对任意m，有于是,第17讲Lebesgue积分的性质,由的可积性知所以,第17讲Lebesgue积分的性质,由第一个不等式知可积，且由第二个不等式知因此,第17讲Lebesgue积分的性质,下设是一般可积函数，则不难证明因此，若都是可积函数，则也是可积的，注意到,第17讲Lebesgue积分的性质,所以有进而上面已证非负函数的积分具有可加性，于是,第17讲Lebesgue积分的性质,故,第17讲Lebesgue积分的性质,即证毕。(v)当在E上有积分，且时，。证明现设在E上有积分，且,第17讲Lebesgue积分的性质,记，则且，由积分的可加性得,第17讲Lebesgue积分的性质,由于对一切有界可测函数，有，故由定义2、3不难得知对E上一切可测函数。所以，又因f在E上有积分，从而不难证明在E1上也有积分，而在E1上，因此g在E1上有积分。再次由积,第17讲Lebesgue积分的性质,分的定义，通过极限手续知在E上也有积分，且证毕。,第17讲Lebesgue积分的性质,(vi)当都在E上有积分，且时。证明记则，于是在E上有积分，且又在E上均有积分，且，所以由,第17讲Lebesgue积分的性质,得，类似(iv)的证明可知若，则不等式显然成立；若，则因存在，故,第17讲Lebesgue积分的性质,从而由上面的不等式知，于是有；类似地，若，则于是有若，则，因此不等式仍然成立。证毕。,第17讲Lebesgue积分的性质,Riemann积分与Lebesgue积分的关系我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积分的推广，然而对广义Riemann积分来说，Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积性，这从前面的例子已经看到，那么，通常意义下的Riemann可积性是否意味着Lebesgue可积性呢？如,第17讲Lebesgue积分的性质,果不是的话，则就不能认为Lebesgue积分是Riemann积分的自然推广，幸运的是，答案是肯定的，即我们有*定理6如果有界函数在闭区间a,b上是Riemann可积的，则在a,b上也是Lebesgue可积的，且,第17讲Lebesgue积分的性质,此处表示在a,b上的积分，表示在a,b上的Riemann积分。证明：显然，由定理1，只需证明是a,b上的可测函数。,第17讲Lebesgue积分的性质,由于Riemann可积，取a,b的分点组，记分别为在上的下确界与上确界，由Riemann积分的定义知,第17讲Lebesgue积分的性质,令为如下的函数列：,第17讲Le