高等数学微分方程

微分方程,第六章,积分问题,微分方程问题,推广,第一节微分方程的基本概念,一、两个实例,三、微分方程的几何意义,二、微分方程的基本概念,例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,例2.列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,制动时,例（求物体的运动规律）把一质量为M的物体从地面上以初速v0垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，求该物体的运动方程s(t)。,定义6.1微分方程(differentialequation)含有自变量、未知函数及其导数（或微分）的方程，称为微分方程。,定义6.2微分方程的阶(order)微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶。,二、微分方程的基本概念,定义6.3微分方程的解(solution)如果把某个函数及其导数（或微分）代入微分方程，能使方程成为恒等式，那么这个函数就是该微分方程的解。即满足微分方程的函数就是方程的解。,通解(generalsolution)如果微分方程的解中含有的独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。,特解(particularsolution)根据初始条件(initialcondition)（确定通解中任意常数的条件），定出通解中的任意常数后所得的解，称为微分方程的特解。,一般地，一阶微分方程有一个初始条件：当x=x0时，y=y0,而二阶微分方程有二个初始条件：当x=x0时，y=y0；当x=x0时，y=y1（其中x0，y0，y1是给定的值）,n阶方程的初始条件：,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,y=x及y=C,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,又如,方程,y=0及,例试判断下列方程是否为微分方程，若是的话，指出它的阶数。,是，一阶,是，二阶,不是,是，一阶,是，一阶,例验证函数y=C1ex+C2e-2x是微分方程y+y2y=0的通解，并求出满足初值条件x=0时，y=3，y=0的特解。,微分方程解的几何意义:微分方程的积分曲线(integralcurve)微分方程的解是一个函数y=f(x)，它在平面上所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。,y,o,x,积分曲线族,第二节可分离变量的微分方程,一阶可分离变量的微分方程:形如的微分方程，称为一阶可分离变量的微分方程。,解法:分离变量法,例试判断下列微分方程是否为可分离变量的微分方程。,是,是,不是,是,例求微分方程的通解。,例.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),也是原方程的解,又,所以原方程的通解为,例求微分方程的通解。,例求微分方程xydx+(1+x2)dy=0满足初值条件y(0)=1的特解。,第三节齐次微分方程若一阶微分方程可化成形如,的方程，则称它为齐次微分方程。,例微分方程,是齐次方程。,令得,例.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),例求微分方程的通解。,第四节一阶线性微分方程,线性微分方程：未知函数及其导数都是一次幂的微分方程，称为线性微分方程。,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,例试判断下列微分方程是否为一阶线性微分方程。,是,是,不是,是,不是,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两边积分得,通解为,1.一阶线性齐次方程,(使用分离变量法),2.一阶线性非齐次微分方程,的解为：,解法：常数变易法,2.一阶线性非齐次方程,分析：,两边积分,非齐次方程通解形式与相应齐次方程通解相比：,常数变易法：,把一阶线性齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,一阶线性非齐次方程特解,一阶线性非齐次方程,的通解为,例.解方程,解:对应的齐次方程,分离变量得,两边积分得,即,常数变易法,则,令,例.解方程,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,即,解：,例,例求微分方程的通解。,例求微分方程的通解。,例若，求f(x)。,练习：求微分方程的通解。,(雅各布伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽