计算方法-常微分方程

第八章常微分方程数值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/,y为人口数量，r为人口增长率，y0为时刻x0的人口数量。,求常微分方程解析解的方法有多种多样，但是利用这些方法，我们只能对极少数特殊类型的常微分方程求解；科学研究和工程技术上的大量常微分方程的求解需借助于数值计算方法。,比如，描述人口增长的著名人口模型：,常微分方程是常用的数学模型。,该方程有解析解y(x)=y0er(x-xo)。,考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:,只要f(x,y)在a,bR1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a,b上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值,节点间距hi=xi+1-xi称为步长，当hi=h为常数时称为等步长。,利用y0求节点x1处的近似值y1,再从y1来求出y2,直至求出所有的yn.称之为步进法.,1欧拉方法/*EulersMethod*/,欧拉公式：,对于xia,b,有,则有,将上式中的函数值y(xi)都用近似值yi来表示,则有数值计算格式,7.1EulersMethod,例7.1求解初值问题,取步长分别为h=0.1和h=0.05,进行计算,结果有,解:该方程的解析解是y=(1+2x)1/2.欧拉格式是,kxiy(xi)yi(h=0.1)yi(h=0.05),欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,Ri的主项/*leadingterm*/,局部截断误差：,7.1EulersMethod,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/,y(xi+1)yi+hf(xi+1,y(xi+1),由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,7.1EulersMethod,梯形公式/*trapezoidformula*/,显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，不便于实际计算。,7.1EulersMethod,改进欧拉法/*modifiedEulersmethod*/,7.1EulersMethod,或者,例7.2求解初值问题,取步长分别为h=0.1和h=0.05,进行计算,结果有,解:该方程的解析解是y=(1+2x)1/2.改进欧拉格式是,kxiy(xi)yi(h=0.1)yi(h=0.05),7.1EulersMethod,2龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/,建立高精度的单步递推格式。,xn+h,K*,考察欧拉公式,K*K1=f(xi,yi),改进欧拉公式,K*(K1+K2)/2,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,这里称为函数y(x)在区间xn,xn+1上的平均斜率.几何意义是y(x)在区间xn,xn+1上点xn+h处的斜率.,根据微分中值定理,存在01,2Runge-KuttaMethod,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入公式，得到,2Runge-KuttaMethod,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,2Runge-KuttaMethod,常用的三阶龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：,2Runge-KuttaMethod,常用的四阶龙格-库塔法：,例7.3用四阶龙格库塔公式求解例题7.1,取h=0.1计算,结果有,解:对于例题7.1有以下四阶龙格库塔计算格式,kxiy(xi)yiK1K2K3K4,2Runge-KuttaMethod,3微分方程组与高阶方程/*SystemsofDifferentialEquationsandHigher-OrderEquations*/,一阶微分方程组,IVP的一般形式为：,前述所有公式皆适用于向量形式。,改进欧拉公式的形式,3SystemsofDEsandHigher-