可分离变量的微分方程课件

1,可分离变量的微分方程,小结作业,一阶线性微分方程,利用变量代换求解方程,第二节一阶微分方程,全微分方程,伯努利(Bernoulli)方程,第十二章微分方程,2,如果一阶微分方程,等式的每一边仅是一个变量的函数与这个,可分离变量的方程,或,可以写成,的形式,易于化为形式,特点,变量的微分之积.,两端积分可得通解.,一、可分离变量的微分方程,3,可分离变量的方程求通解的步骤是:,分离变量,两边积分,其中C为任意常数.,就是方程的通解,分离变量法.,1.,2.,由上式确定的函数,(隐式通解).,这种解方程的方法称为,将上式,4,例求方程的通解.,解,分离变量,两端积分,为方程的通解.,隐式通解,5,练习,解,通解为,6,分析,有两种方法,其一，,将所给选项代入关系式直接验算，,(B)正确.,其二，,对积分关系式两边求导化为微分方程,并注,意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程,所应满足的初始条件.,练习,1991年考研数学一,3分,7,一般,未知函数含于变上限的积分中时,常可,通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出,初始条件而解之.,解,可分离变量方程,两边积分,由原关系式,得,得,分离变量,8,二、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的;,非线性的.,齐次的;,非齐次的.,线性,一阶,自由项,9,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(C1为任意常数),10,2.线性非齐次方程,线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.,显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性.,设想,非齐次方程,待定函数,线性齐次方程的通解是,但它们,的解是,11,从而C(x)满足方程,12,即,一阶线性非齐次微分方程的通解为,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为,待定函数的方法.,13,非齐次方程的一个特解,对应齐次方程通解,一阶线性方程解的结构,一阶线性方程解的结构及解非齐次方程,的常数变易法对高阶线性方程也适用.,14,解,例,15,解,积分方程,例,如图所示,平行于y轴的动直线被曲线y=f(x),阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程,即,截下的线段PQ之长数值上等于,求曲线y=f(x).,16,所求曲线为,17,练习,解初值问题:,解,将方程写为,由初始条件,特解,一阶非齐次线性方程,18,例解方程,若将方程写成,则它既不是线性方程,又不能分离变量.,若将方程写成,以x为未知函数,即,一阶非齐次线性方程.,分析,y为自变量的,19,此外,y=1也是原方程的解.,解,20,参数形式的.,解方程时,通常不计较哪个是自变量哪个是,因变量,视方便而定,关系.,关键在于找到两个变量间的,解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是,21,解,这是典型的一阶线性方程.,分析,由通解公式有,1992年考研数学一,3分,练习,22,2002年考研数学二,7分,求微分方程,的一个解,与直线,以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所围成,的旋转体体积最小.,使得由曲线,解,练习,原方程可化为,则,一阶线性方程,23,形如,的方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,需经过变量代换化为线性微分方程.,解法,称为,伯努利(Bernoulli)方程.,事实上,用,除方程的两边,得,雅个布伯努利(瑞士)1654-1705,三、伯努利(Bernoulli)方程,24,即,可见只要作变换,方程就可化为z的一阶线性方程,令,25,解,例,伯努利方程,作变换,则方程化为,即,它的通解为,故原方程的通解为,26,熟悉求解方法后,也可以不引入新变量,例,解方程,解,这不是线性方程,但若把,y视为自变量,两边除以,n=2的伯努利方程.,也不是伯努利方程.,方程写为:,而直接按上述方法求解.,即,27,即,28,四、利用变量代换求解方程,下面用变量代换的方法来简化求解微分方程.,如果一阶微分方程可以写成,齐次方程.,即,得到u满足的方程,即,的形式,作变量代换,代入,变量代换在数学的各个方面都是极重要的,极限运算和积分运算中已看到了变换的作用.,则称之为,1.齐次型方程,29,可分离变量的方程,分离变量,两边积分,求出通解后,就得到原方程的通解.,30,例解方程,解,将方程写为,齐次方程,方程变为,即,积分得,可分离变量方程,31,分析,解,令,方程变为,齐次方程,可分离变量方程,练习,32,两边积分,即,得通解,分离变量,33,求解下列微分方程,例,解题提示,方程中出现,等形式的项时,通常要做相应,的变量代换,34,解,求微分得,代入方程,可分离变量方程,35,解,分离变量法得,所求通解为,可分离变量方程,36,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,一阶线性方程.,可分离变量方程,方程变形为,37,解,原方程,再令,齐次方程,38,解微分方程,例,解,原方程变形,一阶线性方程,原方程的解,39,可分离变量的微分方程,分离变量,两端积分,一阶线性微分方程,六、小结,解法:,隐式(或显式)通解,40,伯努利微分方程,齐次方程,41,一阶微分方程的解题程序,(1)审视方程,判断方程类型;,(2)根据不同类型,确定解题方案;,(3)若方程的求解最终化为分离变量型的,则作适当变换;,若最终化为全微分型的,则找出适当的积分因子;,(4)做变量替换后得出的解,最后一定要,还原为原变量.,42,作业,习题7-2(