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文档简介
第二章一阶微分方程的初等解法,常微分方程OrdinaryDifferentialEquation,2.1变量分离方程与变量变换,先看例子：,形如,方程,称为变量分离方程,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,用变量分离方法并对分式分解化为:,例2,求解人口增长的logistic模型,两边积分得:,解得:,最后的解,例3,求微分方程,解,将变量分离后得,两边积分得,由对数的定义有,即,故方程的通解为,我们已经知道变量分离方程总可以用初等解法求解.另外，对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离的微分方程，但若能通过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也可用初等解法求解.下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换化为变量分离的微分方程类型.,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,(I)形如,方程称为齐次方程,求解方法:,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,(II)形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,解,解方程组,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,解,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,例7雪球融化问题,设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。,解设t时刻雪球的体积为,，表面积为,，由题得,球体与表面积的关系为,三、应用举例,分离变量积分得方程得通解为,再利用条件,确定出常数C和r代入关系式
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