北京海淀区高三下学期期试数学文参考及评分标准

1 / 10 海淀区高三年级第海淀区高三年级第二二学期期学期期中中练习参考答案练习参考答案 数学（数学（文文科）科） 2017.4 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C B D A C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, , 有两空的小题，第一空有两空的小题，第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分，分， 共 30 分） 9 2 102，15 11. 4 12. 3 2 132, 12 14选，数据虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数 的关系； 选，数据两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关 不选，数据两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算， 考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x，这样每百万人乘机死亡人数 2.1 人，要 远远少于乘车每百万人中死亡人数。 说明：只要对说明：只要对两个两个数据言之有理，就给数据言之有理，就给 5 分。若是只分。若是只选了一个，且选了一个，且对数据进对数据进 行了行了合理合理说明，给说明，给 3 分。分。 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分) ) 15.解： ()设数列 n a的公差为d， 因为 12 6aa， 23 10aa，所以 3 a 1 4a ，-1 分 所以24d ，2d . -2 分 又 11 6aad，所以 1 2a ，-1 分 所以 1 (1)2 n aandn. -2 分 2 / 10 （）记 1nnn baa 所以22(1)42 n bnnn，-2 分 又 1 4(1)2424 nn bbnn ， 所以 n b是首项为6，公差为4的等差数列，-2 分 其前n项和 1 () 2 n n n bb S -2 分 2 (642) 24 2 nn nn . -1 分 16.解： ()法 1：依题意记租到 a 型车的 4 人为 A1，A2，A3，A4； 租到 b 型车的 3 人为 B1，B2，B3； 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人，至少有一人租到 a 型车”，-1 分 则事件A为“7 人中抽到 2 人都租到 b 型车”. -1 分 如表格所示：从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况，-2 分 事件A发生共有 3 种情况， -1 分 所以事件 A 概率 p(A)=1 P(A)= 36 1 217 . -2 分 法 2：依题意记租到 a 型车的 4 人为 A1，A2，A3，A4； 租到 b 型车的 3 人为 B1，B2，B3； 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人，至少有一人租到 a 型车”，-1 分 事件 A 包含两类情形：2 人都租到 a 型车；一人租用 a 型车，一人租用 b 型车。两类情 形共有 18 种情况. -2 分 从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况，-2 分 所以事件 A 发生的概率 186 ( ) 217 P A .-2 分 ()依题意，市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%，-2 分 X XX A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B3B2B1A4A3A2A1 3 / 10 租用 b 型车的比例为 50%40%+50%50%=45%，-2 分 所以市场 4 月租用 a,b 型车的用户比例为 55%11 = 45%9 . -2 分 说明：如果学生假设说明：如果学生假设 a 型车和型车和 b 型车的具体数值，然后计算数值再求比例，不扣分型车的具体数值，然后计算数值再求比例，不扣分 17.解： () 因为2AB， 所以由正弦定理 sinsin ab AB ， -2 分 得 sinsin2 ab AB ， -1 分 得 2sincossin ab BBB ， -2 分 所以2 cosabB. -2 分 （）法 1：由余弦定理， 222 2cosbacacB, -2 分 因为2,4bc， 所以 22 416cos1432cosBB, -1 分 所以 2 16cos12B，即 2 3 cos 4 B ， -1 分 因为2ABBB ，所以 3 B ，-1 分 或因为bc，所以 2 B 所以 3 cos 2 B ，所以 6 B . -1 分 法 2：由余弦定理， 222 2cosabcbcA, -2 分 因为2,4,2bcAB， 所以 2 16cos4 16 16cos2BB，-1 分 所以 2 3 cos 4 B . -1 分 因为2ABBB ，所以 3 B ，-1 分 4 / 10 所以 3 cos 2 B ，所以 6 B . -1 分 法 3：因为2 cosabB， 所以由余弦定理， 222 2cosbacacB, -2 分 可得 222 2 2 a bacac b ，即 2 222 a c bac b ， 又因为2,4bc，所以计算可得 2 12a ，即2 3a ，-1 分 因为 222 abc，所以90C，-1 分 所以 3 cos 2 a B c ， -1 分 所以 6 B . -1 分 法 4：因为2 cosabB，根据余弦定理 222 cos 2 acb B ac ，可得 222 2 2 acb ab ac , -2 分 又因为2,4bc，所以计算可得 2 12a ，即2 3a ，-1 分 因为 222 abc，所以90C，-1 分 所以 3 cos 2 a B c ， -1 分 所以 6 B . -1 分 18.解： ()连接BD，与AC交于点O，连接OF，-1 分 在PBD中，O，F分别是BD，PD中点， 所以OFPB，-1 分 又因为OF 平面FAC，-1 分 PB 平面FAC，-1 分 所以PB平面FAC.-1 分 说明：本题下面过程中的标灰部分说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分不写不扣分 （）法 1：因为PA平面ABCD，,AB AD 平面ABCD， C F E A B D P O 5 / 10 所以PAAB，PAAD，-1 分 又因为ABAD，PAABA，,PA AB 平面PAB， 所以AD 平面PAB，-1 分 在直角PAB中，2PAAB，E为PB中点， 所以1 PAE S， 所以三棱锥PEAD的体积为 12 V 33 P EADPAE SAD .-2 分 说明说明 1 1：最后一行的体积公式：最后一行的体积公式 1 1 分，数值结果分，数值结果 1 1 分分 法 2：因为PA平面ABCD，所以PA为棱锥PABD的高.-1 分 因为2PAAB，底面ABCD是正方形， 所以 1114 V222 3323 P ABDABD SPA ，-1 分 因为E为PB中点，所以 PAEABE SS ，-1 分 所以 12 VV 23 P EADP ABD . -1 分 （）证明： 因为AD 平面PAB，PB 平面PAB， 所以ADPB， -1 分 在等腰直角PAB中，AEPB，-1 分 又AEADA，,AE AD 平面EAD， 所以PB 平面EAD，-1 分 又OFPB， 所以OF 平面EAD，-1 分 又OF 平面FAC， -1 分 所以平面EAD平面FAC. 19.解： 6 / 10 () 由| 4,AB 得2a . -1 分 又因为 1 2 c e a ，-1 分 所以1c ， -1 分 所以 222 3bac，-1 分 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy . -1 分 （）法 1：假设存在点,P 使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然,AM PQ不平行，所以AP与MQ平行， APMQ kk.-1 分 设点 0 (4,)Py， 11 ( ,)M x y， 0 6 AP y k， 1 1 4 MQ y k x ,-1 分 则 01 1 64 yy x -1 分 直线PB方程为 0 (2) 2 y yx，-1 分 由点M在直线PB上，则 0 11 (2) 2 y yx -1 分 联立， 0 1 0 1 (2) 2 64 y x y x ，显然 0 0y ，可解得 1 1x . -1 分 又由点M在椭圆上， 2 1 1 1 43 y ，所以 1 3 2 y ，-1 分 即 3 (1,) 2 M，将其代入，解得 0 3y ，-1 分 所以(4, 3)P. -1 分 法 2：假设存在点,P 使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然,AM PQ不平行，所以AP与MQ平行, APMQ kk .-1 分 显然直线MB存在斜率且斜率不为0，设 11 ( ,)M x y， 设直线MB方程为2xty(0)t . 7 / 10 由 22 2 34120 xty xy 得 22 (34)120tyty，-1 分 由0 ，得0t . -1 分 又因为(2,0)B， 所以 1 2 12 34 t y t ， -1 分 2 11 2 68 2 34 t xty t ， 所以 2 22 6812 (,) 3434 tt M tt . -1 分 2 4 xty x ，所以 2 (4, )P t . -1 分 因为 APMQ kk，所以 2 2 2 212 34 686 4 34 t tt t t ，-1 分 解得 2 3 t ， -1 分 所以(4, 3)P. -1 分 法 3：假设存在点,P 使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然,AM PQ不平行，所以AP与MQ平行, APMQ kk，-1 分 显然直线AP斜率存在，设直线AP方程为(2)yk x. 则 (2) 4 yk x x ，所以6yk，所以(4,6 )Pk，-1 分 又因为(2,0)B，所以 6 3 2 PB k kk. -1 分 所以直线PB方程为3 (2)yk x， 22 3 (2) 34120 yk x xy ， 消y， 2222 (121)484840kxk xk 显然0 . -1 分 又因为(2,0)B, 所以 2 1 2 48 2 121 k x k ，即 2 1 2 242 121 k x k ，-1 分 8 / 10 所以 11 2 12 3 (2) 121 k yk x k . 所以 2 22 24212 (,) 121 121 kk M kk . -1 分 由 APMQ kk可得 2 2 2 12 6 121 2426 4 121 k k k k k ，-1 分 解得 1 2 k , -1 分 所以 3 (1,) 2 M，(4, 3)P，-1 分 法 4：假设存在点,P 使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然,AM PQ不平行，所以AP与MQ平行, -1 分 所以 | | BQBM ABBP ，所以 |1 |2 BM BP . -2 分 设点 11 ( ,)M x y，(4, )Pt. 过点M作MHAB于H，则有 |1 |2 BHBM BQBP -1 分 所以| 1BH ， -1 分 所以(1,0)H，所以 1 1x ， -1 分 代入椭圆方程，求得 1 3 2 y -2 分 所以(4, 3)P. -1 分 20.解： （）( )e2 x fxxa， -1 分 由已知可得(0)0 f ，所以10a, 得1a . -1 分 （）( )e2 x g x，令( )0g x，得ln2x ，-1 分 所以x，( )g x，( )g x的变化情况如下表所示： 9 / 10 x (,ln2) ln2 (ln2,) ( )g x 0 ( )g x 极小值 -2 分 所以( )g x的最小值为 ln2 (ln2)e2ln2112ln2g .-1 分 （）证明：显然( )( )g xfx且(0)0g，-1 分 由（）知，( )g x在(,ln2)上单调递减，在(ln2,)上单调递增. 又(ln2)0g， 2 (2)e50g，-1 分 由零点存在定理，存在唯一实数 0 x(ln2,)，满足 0 ()0g x， 即 0 0 e210 x x ， 0 0 e21 x x，-1 分 综上，( )( )g xfx存在两个零点，分别为 0， 0 x. 所以 0 x 时，( )0g x ，即( )0fx，( )f x在(,0)上单调递增； 0 0 xx时，( )0g x ，即( )0fx，( )f x在 0 (0,)x上单调递减； 0 xx时，( )0g x ，即( )0fx