第二章-2.1变量分离与变量变换课件_第1页
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第二章一阶微分方程的初等解法,把微分方程的求解问题化为积分问题。即用恒等变形、变量变换或乘上一个积分因子等手段将微分方程的解用初等函数或初等函数的积式来表达，这种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。,主要内容,变量分离方程与变量替换线性方程与常数变易法(待定函数法)恰当方程与积分因子（全微分方法）一阶隐方程与参数表示,形如的方程，称为变量分离方程，这里分别是的连续函数。,1、定义,2.1.1、变量分离方程,2.1变量分离方程与变量替换,2、方程求解,微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(*).,例2.1：,解：分离变量并积分得,带入初值条件得,分离变量积分(转化为积分的形式)讨论解的完整性（如分母为零的解）写出通解,3、变量分离方程的解题步骤,例2.2求解方程,方程的通解为,解：,分离变量,得,积分,得,注意：积分常数C的相对任意性。,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,引言：有的微分方程从表面上看，不是可分离变量的微分方程，但是，通过适当的变量代换，就可以很容易地化为“变量分离方程”，在这里，介绍两类这样的方程。,2.1.2可化为变量分离的方程,1、第一类方程：齐次方程,定义：,形如的方程，称为齐次微分方程，这里是的连续函数。,1）方程的类型,2）方程的求解（变量变换法）,该方法的要点是：利用变量代换将方程化为变量分离方程。利用变换来解微分方程是一种常用的技巧。,例2.4求解方程,解：,通解为：,变量代换；求解；变量还原。,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,2.第二类：形如,的方程可经过变量代换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由类型(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,解:,解方程组,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变
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