高等计算流体力学-01

高等计算流体力学,任玉新,目标,了解和掌握计算流体力学主流和前沿计算方法提高算法设计和编程能力锻炼文献调研，自学，结果分析及整理的能力,参考书,1E.F.Toro,Riemannsolversandnumericalmethodsforfluiddynamics,Springer,1997(Firstedition)2J.D.Anderson,Computationalfluiddynamics:basicswithapplications,Springer(清华大学出版社影印版)3BarthandDeconinck(eds.)Highordermethodforcomputationalphysics,LectureNotesinComputationalScienceandEngineering,9.Springer,19994T.J.Chung,Computationalfluiddynamics,CambridgeUniversityPress,20025任玉新，陈海昕，计算流体力学基础，清华大学出版社2006。,训练考核内容,平时作业（包括上机作业）课程Project（分组？）专题论文口试,教师与助教,教师：任玉新电话：85543，Email：ryx地址：逸夫楼1505助教：郭晨曦电话：97713，Email：hustguochenxi地址：逸夫楼1505,主要内容,可压缩流动的数值方法基础不可压缩流动得数值方法基础计算流体程序设计实习专题选讲紧致（Compact）格式及其他高分辨率格式非结构网格上的数值方法ENO/WENO格式DiscontinuousGalerkin格式不可压缩流动数值方法的进一步讨论,第一部分,概述与回顾,概念框架,理论流体力学,计算流体力学,基本方程,第一讲,NavierStokes方程,流体力学的基本方程是计算流体力学的基础。流体的运动满足质量守恒，动量守恒和能量守恒的规律。在牛顿流体范围内，这些规律可以用NavierStokes方程描述（在CFD中常把连续方程、动量方程和能量方程通称NavierStokes方程）。,积分型和微分型方程,上面所述的积分型方程直观地反映了质量、动量的守恒关系，称为守恒型积分方程。由守恒型积分方程直接应用Gauss定理，并考虑到控制体形状的任意性后得到的微分型方程称为守恒型微分方程。显然，上面给出的微分型方程即为守恒型微分方程。守恒型微分方程的特点是：所有空间导数项均为散度的形式。守恒的微分和积分型方程，都可以称作守恒律（conservationlaw）。空间导数不是散度形式的微分型方程，称为非守恒型方程。,积分型方程和微分型方程的差别,积分型方程允许在控制体内部流动参数有间断；而微分型方程假定流动参数是可微的，因而是连续的。当从积分型方程推导微分型方程时，这一点可以看得很清楚：在推导过程中我们要利用Gauss公式，而使用Gauss公式的条件是变量是连续可微的。积分型方程可以认为是比微分型方程更为基本的方程，尤其是流场中确实存在间断（如激波）时。,守恒型方程的意义,流体力学基本方程可以写成多种形式，包括守恒型和非守恒型。从理论流体力学的角度，各种形式的方程都是等价的。从计算流体力学角度，基于守恒型方程的数值方法可以直接用来计算有间断（如激波）的流场，而不用对间断进行任何特殊处理，这种基于守恒型方程的数值方法称为激波捕捉（shockcapturing）方法。而基于非守恒型方程的数值方法一般不能正确的计算有激波间断的流场。为了处理有间断的流动，基于非守恒型方程的数值方法必须与一种称为激波装配（shockfitting）的方法联合使用。,激波装配与激波捕捉方法,激波装配，就是把激波从流场中分离出来，当作边界处理。激波装配方法的优点是可以准确的计算激波的位置，缺点是非常复杂且不够通用。激波捕捉，直接求解守恒型方程计算流场，无需对间断进行任何特殊处理。激波捕捉方法非常简单，但是计算出的激波不是理想的间断，而是有几个网格的厚度的大梯度结构。随着现代高精度、高分辨率数值方法的发展，激波捕捉方法的质量不断提高，已经占有主导地位。,边界条件,CFD中流体力学方程常用的计算形式：直角坐标系下的守恒型方程,守恒变量（conservativevariables）,N-S方程的无量纲化,采用无量纲方程的优缺点无量纲方式可以任意,出现的无量纲参数：,不同的无量纲方式得到的方程的形式不同,无量纲状态方程：,21,CopyrightbyLiXinliang,N-S方程的简化,1）不可压情况下,2）无粘(无热传导)（Euler方程）,通常：,变形：,假设粘性系数为常数（温度变化较小的情况）,22,CopyrightbyLiXinliang,2.2偏微方程的分类及特征,1.一阶偏微方程,采用特征线法，可转化为常微分方程,考虑曲线G:,显然，沿着该曲线G有：,如果该曲线G满足：,则有：,偏微方程在特征线上变成了常微分方程,特征线,特征相容关系,23,CopyrightbyLiXinliang,特例：常系数线性单波方程,特征线G：,特征关系式：或,扰动沿特征线以有限速度传播的方程称为“双曲型”方程基本特征：扰动以有限速度传播局部依赖关系-“依赖域”、“影响域”,24,CopyrightbyLiXinliang,2.一阶常系数偏微方程组,如果矩阵A可以被对角化：,令：,有,即：,m个方程完全解耦，可独立求解,有m条特征线：,m个特征相容关系式：,如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的,25,CopyrightbyLiXinliang,如果矩阵A具有m个实特征值，这些特征值共具有m个线性无关的特征向量，则称为双曲型方程,一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程）等价。,如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛物型方程。如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程组合情况：双曲-椭圆型双曲-抛物型,思考题：如果A为变系数情况？,26,CopyrightbyLiXinliang,3.高阶偏微方程可转化为一阶方程组,原方程化为一阶方程组：,转化为一阶偏微方程组,矩阵,特征方程（3）有两个互异实根-矩阵A可对角化-双曲型,特征方程（3）有两个相同实根，且无法对角化-抛物型,特征方程（3）无实根-椭圆型,对于变系数情况，局部讨论,27,CopyrightbyLiXinliang,4.讨论Euler方程组,将矩阵A对角化,一维非定常Euler方程转化为三个单波方程扰动波分别以速度传播,一维非定常流动：,28,CopyrightbyLiXinliang,二维非定常Euler方程组,29,CopyrightbyLiXinliang,二维定常Euler方程,30,CopyrightbyLiXinliang,模型方程及其数学性质,简化的模型方程：线性单波方程最简单的双曲型方程热传导方程抛物型Laplace方程椭圆型Burgers方程抛物型,目的：通过简化模型方程，研究流体力学方程组的数学性质及计算方法,偏微分方程的分类：,椭圆型,抛物型,双曲型,31,CopyrightbyLiXinliang,1.线性单波方程,方程的精确解：,含义：以常速度c向右传播。波形，振幅保持不变,c0扰动波向右传播：左端(A)需要给定边界条件；右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件（即使给定，对计算域也无任何影响,且造成B端的非适定性）。c0扰动波向左传播：右端(B)需要给定边界条件；左端(A)无需给定,线性单波方程的边界条件:,对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖于初始值，则称数学问题的提法是适定的。,对流方程的典型模型,32,CopyrightbyLiXinliang,1)波动方程有两条特征线和两个特征相容关系；每个特征相容关系携带了偏微分方程的部分信息，在相应的特征线上传播，信息传播的速度就是相应特征值。,特点:,2)两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来的偏微分方程是等价的。利用特征相容关系和初始值，我们可以得到波动方程初值问题的解。这种求解双曲型方程的方法称为特征线法。,33,CopyrightbyLiXinliang,4)边界条件边界条件个数=边界处指向求解域内的特征线条数5）时间变量的单向性,34,CopyrightbyLiXinliang,2.热传导方程抛物型方程,精确解：,特点：扰动解瞬时传遍整个计算域,扩散方程的典型模型,35,CopyrightbyLiXinliang,抛物型方程特点,由于抛物型方程独立的特征向量数少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程的信息，即抛物型方程不可能用特征线方法求解。依赖域。由于特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物型方程不存在有限的依赖域。因此，每一的解依赖于整个求解域。抛物型方程的特征值均为实数，时间变量（或类似时间变量）有单向性，可以用推进的方法求解。同双曲型方程一样，抛物型方程也是发展型方程。,t,x,36,CopyrightbyLiXinliang,3.Burgers方程,对流-扩散方程,精确解：,含义：扰动波既下下游传播，同时进行扩散,37,CopyrightbyLiXinliang,4.椭圆型方程：Laplace方程,38,CopyrightbyLiXinliang,椭圆型方程特点,椭圆型方程由于其特征值均为复数，所以，特征线、相容关系等均无定义；不能沿某一方向推进求解（必须整个求解域同时求解）；