电子工程数学方法-复变函数论第4章

电子工程数学方法,任课教师：陈其科,联系方式：E_mail：qkchen办公电话：61830311,总学时:48课时（3学分）教材：梁昆淼，数学物理方程（第四版）成绩构成：课堂测验(4次)40%+课程设计10%+平时（出勤，作业）10%+期末考试40%,两点期望：1、按时出勤，请假须有请假条(上课前有效)；课堂测验不定期不预先通知，缺勤1次，直接从总分减10%(请假另计)；2、自己完成作业，并按时提交；,3,考察解析函数回路积分问题：,第四章留数定理,情况1：被积函数在积分回路所围区域内解析,由柯西定理可知：,情况2：被积函数在积分回路所围区域内存在奇点,4,第四章留数定理,4.2应用留数定理计算实变函数定积分,4.1留数定理,5,（一）留数,4.1留数定理,问题：若f(z)在l内有奇点，,情况1：l内有一个孤立奇点z=z0,由复通区域柯西定理：,l0为包围z0的一个小回路。将f(z)在以z0为中心的环域上展为洛朗级数,6,（一）留数,4.1留数定理,留数定义：,设是的孤立奇点，是包围在内的闭曲线，且不包含的另外奇点，则在点的留数(Residue)定义为,函数在奇点的留数等于函数在该奇点处洛朗级数的项的系数,7,（二）留数定理,4.1留数定理,问题：若f(z)在l内有奇点，,情况2：l内有n个孤立奇点,由复通区域柯西定理：,8,（二）留数定理,4.1留数定理,留数定理：,设函数在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除外连续，则,留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围各奇点留数之和。,9,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,留数计算一般方法：,在以奇点为圆心的圆环域上将函数展开为洛朗级数，并取其负一次幂项系数即可。,1)若f(z)在z0处解析，或z0为f(z)的可去奇点，则留数为0。2)若奇点为极点，可不作洛朗级数展开直接求解。,留数,10,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,1、奇点为单极点(一阶极点)时,设z0是f(z)的一阶极点，即有,特殊地，若,一阶极点判断依据,11,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,2、奇点为m阶极点时,设z0是f(z)的m阶极点，即有,两边乘,得到：,m阶极点判据,12,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,2、奇点为m阶极点时,为了求a-1,对上式求m-1阶导数：,即可得m阶极点留数计算公式：,13,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,例1：求在处的留数。,另解,m=?,解：,14,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,例2：求在其奇点的留数。,解：z=n为一阶极点,15,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,例3：求在其奇点的留数。,解：,故：z=2i为单极点,z=0为三阶极点。,16,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,例4：求积分,解：,17,（三）极点处留数的计算,4.1留数定理,(续前),18,（四）无穷远点处留数,4.1留数定理,奇点在有限远点处时，解析域：,若点为函数的孤立奇点，即在无限远点的邻域内解析，则定义函数在处的留数为,=？,在无限远点的邻域内，将展开为洛朗级数，有,19,即：等于在的去心邻域的洛朗展开式中项系数的相反数。,（四）无穷远点处留数,4.1留数定理,20,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,方法：实变函数积分复变函数的回路积分,将在区间l1=a,b的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来。,基本思想:,方法：,补充线段l2,并且延拓函数到整个复平面，构成回路积分：,l=l1+l2,易于求解(一般为0）,利用留数定理求解,解析延拓,21,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,其中：（1）R(cosx,sinx)是sinx,cosx的有理式；（2）积分区间是0,2；（3）在区间0,2内，无奇点。,（一）类型一：,处理方法：,则原积分变为：,定义域由实数域拓展到复数域,替换法,22,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（一）类型一：,例1:计算积分,解：,被积函数在0,2内无奇点，满足类型一要求。,23,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（一）类型一：,例2:计算积分,解：,被积函数有单极点,由留数定理：,24,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,其中：(1)积分区间是(-,+);(2)复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(3)当z在上半平面和实轴上时，一致的|zf(z)|0；,（二）类型二：,特殊地：当f(x)是有理分式时：由条件(1)(2)(3)，要求积分式的分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。,反常积分,25,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,处理方法：,其积分主值为：,补充围路如图,作线积分,(留数定理),26,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,处理方法：,证明：,条件(3),27,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题3求积分,单极点，只需考虑上半平面极点+i,解：,满足类型二条件要求。,28,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题4求积分,解：被积函数满足类型二条件要求。,上半平面奇点为n阶极点+i。,29,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,（续例题4）,30,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题5求积分,解：被积函数为偶函数，故,由例4结论，知：,31,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,其中：（1）积分区间；（2）偶函数F(z)和奇函数G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；（3）当z在上半平面和实轴上时，一致地F(z),G(z)0；,32,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,处理方法：,偶函数,同理可推得：,33,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,类型二,故：,34,约当引理如m为正数，是以原点为圆心且位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上时，f(z)一致地0,则,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,35,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题6：求积分,解：满足类型三条件要求，故,在上半平面内，z=ia为一阶极点。,36,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题7：求积分,解：满足类型三条件要求，故,在上半平面内，z=ia为二阶极点。,37,（三）类型三：,例题7：求积分,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（续）,38,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题8：求积分,解：,在上半平面内，z=i为其单极点。,满足类型三要求。,39,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题8：求积分,另解：,40,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（四）类型四：实轴上有单极点的积分,其中：(1)函数f(z)在实轴上有单极点a，上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(2)当z在上半平面和实轴上时，一致地|zf(z)|0；或满足类型三的条件（约当引理）。,（非类型二）,41,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（四）类型四：实轴上有单极点的积分,处理方法：,作如图围路，则：,当R时积分为零,取极限R,0,则,？,42,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（四）类型四：实轴上有单极点的积分,处理方法：,洛朗展开,注：如为二阶以上的极点，积分为无限大值（发散）。,43,如实轴上有多个单极点：,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（四）类型四：实轴上有单极点的积分,处理方法：,因此原积分为：,注意：实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或二阶以上极点，更不能是本性奇点。否则，积分（极点情形）或不存在（本性奇点情形）。,44,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（四）类型四：实轴上有单极点的积分,例题9：求狄利克雷积分,解：原积分可化成,满足类型四条件要求。在上半平面内无极点；在实轴上存在单极点z=0。,45,4.2应用留数理论计算实变函数定积分,（四）类型四：实轴上有单极点的积分,由狄利克雷积分推出的几个积分：,46,4.3应用留数理论计算定积分补充例题,关键点：,如何由实变函数构造被积复变函数。,一般来说，构造的复变函数f(z)应满足以下条件：,1）在实轴上，,2）f(z)应满足类型二或类型三条件要求。,47,4.3应用留数理论计算定积分补充例题,例题1：求菲涅尔积分,解：,构造如图回路，在回路内无奇点，则由柯西定理,48,4.3应用留数理论计算定积分补充例题,（续上例）,=0,49,4.3应用留数理论计算定积分补充例题,例题2：求,解：将被积函数实轴延拓到复平面，得,由于,则为多值函数。z=0为支点，割线沿正实轴。将函数沿如图所示路径积分，得,绕支点一周，幅角增加2,=0,=0,待求,50,4.3应用留数理论计算定积分补充例题,例题2：求,51,4.3应用留数理论计算定积分补充例题,(续上例）,易知：在z=-1处存在单极点,在该点处的留数为,52,4.3应用留数理论计算定积分补充例题,例题3：求,解：本例中，被积函