数学 最新3类编 18 推理与证明 文pdf

泛函分析( 二) 半个多世纪来, 泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段, 并形成了自己的许多 重要分支, 另一方面, 它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展它在微分方程、 概率论、 函数论、 连续介质力学、 量子物理、 计算数学、 控 制论、 最优化理论等学科中都有重要的应用, 还是建立群上调和分析理论的基本工具, 也是研究无限个自由度物理系统的重要工具之一近十 几年来, 泛函分析在工程技术方面有更为有效的应用 第 十 八 章 推理与证明 一、选择题 ( 全国大纲文 )正方形A B C D的边长为, 点E 在边A B上, 点F在边B C上,A EB F , 动点P从E出发沿 直线向F运动, 每当碰到正方形的边时反弹, 反弹时反射角等于 入射角, 当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 ( ) A B C D ( 上海文 )若Sns i n s i n s i nn ( nN) , 则在S、S、 、S 中, 正数的个数是( ) A B C D ( 江西文)观察下列事实:|x|y|的不同整 数解( x,y) 的个数为,|x|y|的不同整数解(x,y) 的个数 为,|x|y|的不同整数解(x, y) 的个数为 , , 则|x| |y| 的不同整数解(x,y) 的个数为( ) A B C D ( 江西文 )如图, 一个“ 凸轮” 放置于直角坐标系 x轴上方, 其“ 底端” 落在远点O处, 一顶点及中心M在y轴的正 半轴上, 它的外围由以正三角形的顶点为圆心, 以正三角形的边 长为半径的三段等弧组成, 今使“ 凸轮” 沿x轴正向滚动过程中, “ 凸轮” 每时每刻都有一个“ 最高点” , 其中心也在不断移动位置, 则在“ 凸轮” 滚动一周的过程中, 将其“ 最高点” 和“ 中心点” 所形 成的图形按上、 下放置, 应大致为( ) ( 第题) 二、填空题 ( 陕西文 )观察下列不等式: ; ; ; 第十八章 推理与证明 埃拉托色尼( 一) 多年前, 有人用简单的测量工具计算出地球的周长这个人就是古希腊的埃拉托色尼埃拉托色尼博学多才, 不仅通 晓天文, 而且熟知地理, 他还是诗人、 历史学家、 语言学家、 哲学家, 曾担任过亚历山大博物馆的馆长埃拉托色尼是首先使用“ 地理学” 名称的 人, 从此代替传统的“ 地方志” , 写成了三卷专著, 书中描述了地球的形状、 大小和海陆分布 照此规律, 第五个不等式为 ( 湖南文 )对于nN, 将n表示为nak k ak ka a , 当i k时,ai, 当i k时,ai为或定义bn如下: 在n的上述表示中, 当a,a, a, ,ak中等于的个数为奇数时,bn; 否则bn ( )bbbb ; ( ) 记cm为数列bn 中第m个为的项与第(m) 个为 的项之间的项数, 则cm的最大值是 ( 湖北文 )传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家 经常在沙滩上面点或用小石子表示数他们研究过如图所示的 三角形数: ( 第题) 将三角形数, , 记为数列a n , 将可被整除的三 角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn , 可以推测: ( )b 是数列an 中的第 项; ( )bk ( 用k表示) ( 福建文 )观察下列等式: c o s a c o s a; c o s a c o s a c o s a; c o s a c o s a c o s a c o s a; c o s a c o s a c o s a c o s a c o s a; c o s amc o s a c o s a c o s anc o s a pc o s a 可以推测,mnp 三、解答题 ( 北京文 ) 设A是如下形式的行列的数表: abc def 满足性质P:a,b,c,d,e, f, , 且abcdef 记r i(A) 为A的第i行各数之和(i,) ,cj(A) 为A的第j 列各数之和( j ,) ; 记k(A) 为|r (A)|,|r(A)|,|c(A)|,|c(A)|,|c(A)|中 的最小值 ( ) 对如下数表A, 求k(A) 的值: () 设数表A形如: d dd 其中d, 求k(A) 的最大值; ( ) 对所有满足性质P的行列的数表A, 求k(A) 的最 大值 ( 北京文 )已知集合Snx|x(x,x, , xn) ,x, ,i, ,n (n) 对于A(a,a, ,an) ,B (b,b, bn)Sn, 定义A与B的差为AB(|ab|,|a b|, |anbn|) ;A与B之间的距离为d(A,B) n i |aibi| ( ) 当n时, 设A(,) ,B(,) , 求d (A, B) ,d(A,C) ,d(B,C) ,d(A,B) ; ( ) 证明:A、B、CSn, 有ABSn, 且d(AC,BC) d(A,B) ; ( )证明:A、B、CSn,d(A,B) ,d(A,C) ,d(B,C) 三个数 中至少有一个是偶数 B 【 精析】 依据题意画出相应的图形, 由图得出结论, 选B ( 第题) C 【 精析】 因为在S、S、S、 、S 、S 中,S S , 其余均为正数, 又由函数的周期性, 每 个一组, 共可分为组, 且S 、S 为正数, 所以可得S、S、 、S 中的个数为 , 其 余均为正数, 故为 B 【 精析】, , 所以|x|y| 的整数解(x,y) 的个数为 故选B A 【 精析】 根据中心M的位置, 可知中心并非是处于最 低与最高的中间位置, 而是稍微偏上, 在转动过程中,M的位置 会先变高, 因此排除C与D又当M最高时, 最高点的位置应该 与旋转开始前相同, 因此又排除B故选A 【 精析】, , 所以第五个不等式右边的分子为 故填 () () 【 精析】 () 因为 , , , , 所以b bbb ( ) 多求几项找规律, 由b,b,b,b,b,b ,b,b,b,b , 得b与b之间相隔两项 不为, 故填(); () () () k(k) 【 精析】 因为ann( n) , 若an可被整除, 则nk或n 最新年高考试题分类解析数学 埃拉托色尼( 二) 埃拉托色尼还用经纬网绘制地图, 最早把物理学的原理与数学方法相结合, 创立了数理地理学细心的埃拉托色尼还发现: 离亚历山大城约 千米的塞恩城( 今埃及阿斯旺附近) , 夏日正午的阳光可以一直照到井底, 因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影 子但是, 亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子 k(kN) , 即n,;, ; , ; , 所以b , 又因为b ,b , , 所以将ann ( n) 中用 nk代入, 得bk k(k) 故填( ) ; () k(k) 【 精析】 本小题考查三角变换、 类比推理等基础知 识, 考查同学们的推理能力等因为 , , , , 所以m ; 观察可得n , p , 所以mnp () 因为r(A) ,r(A) ,c(A) , c(A) ,c(A) , 所以k(A) ( )r(A)d,r(A)d,c(A)c(A)d, c(A)d 因为d, 所以|r (A)|r(A)|d,|c(A)|d 所以k(A)d 当d时,k(A) 取得最大值 ( ) 任给满足性质P的数表A: ( 如下所示) abc def 任意改变A的行次序或列次序, 或把A中的每个数换成它 的相反数, 所得数表A仍满足性质P, 并且k(A)k(A) 因此, 不妨设r (A),c(A),c(A) 由k(A) 的定义知,k(A)r (A) ,k(A)c(A) ,k(A) c(A) 从而k(A)r (A)c(A)c(A) (abc)(ad)(be) (abcdef)(abf) abf 所以k(A) 由() 知, 存在满足性质P的数表A使k( A) 故k(A) 的最大值为 ()AB(| |,| |,| |,| |,| |) (,) ,d(A,B)| | | | | | | ( ) 设A(a,a, ,an) ,B(b,b, ,bn) ,C(c,c, , cn)Sn 因为a,b , , 所以|ab |, (i, ,n) 从而AB(|ab |,|ab|, |anbn|)Sn 由题意知a i,bi,ci, (i, ,n) , 当ci时, | |aici|bici| |aibi|, 当c i时, | |aici|bici| |(ai)(bi)|aibi| 所以d(AC,BC) n i |aibi|d(A,B) ( ) 设A(a,a, ,an) ,B(b,b, ,bn) ,C(c,c, , cn)Sn, d(A,B)k,d(A,C)l,d(B,C)h, 记(, ,) Sn, 由() 可知, d(A,B)d(