集合及其运算

儒洋教育学科教师辅导讲义课 题集合及其运算教学目的1理解集合的概念、组成集合的元素特征、空集、子集和真子集；2掌握集合的相等、集合的交、并、补运算；教学内容1 集合的基本运算一、基础知识网络：二、常用书本知识归类：1、集合的有关概念：定义：我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。注：有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100；所有正奇数组成的集合：1，3，5，7， a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。格式：x| x满足性质p 如：集合图示法：用文氏图表示题中不同的集合。用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用的图叫做文氏图。下图表示的是的文氏图。 (4) 分类：有限集、无限集、空集。（有限集常用列举法，无限集常用描述法，图示法常用于表示集合之间的相互关系。）(5).性质 确定性：必居其一，互异性：不写1，1，2，3而是1，2，3，集合中元素互不相同，无序性：1，2，3=3，2，1 常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合记作Z , （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , （5）实数集：全体实数的集合记作R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ 、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）类型：（1）有限集：含有有限个元素的集合。（2）无限集：含有无限个元素的集合。（3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作。 注：0和是不同的。 0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。课堂练习1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人 （ ）（3）1，2，2，3，4，5（ ）2、 1_N， 0_N，3_N，1_Z，0_Z，3_Z，1_Q，0_Q，3_Q，1_R，0_R，3_R，3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是：4、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（ ）（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素5、 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来；(2)设集合A(x，y)|xy6，xN，yN，试用列举法表示集合A；2、集合的关系 （1）元素与集合的关系，用或表示；（2）子集：定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。记作：；读作：A包含于B或B包含A；当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA。注：有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合（3）集合相等：定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。证明方法：且，则（4）真子集：定义：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集；记作：AB或BA,；读作：A真包含于B或B真包含A。（5）空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集A 若A，则A任何一个集合是它本身的子集（6）子集的个数：含n个元素的集合的所有子集的个数是 ，所有真子集的个数是 ，非空真子集数为 。 （7）易混符号“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如R，11，2，30与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合如 0不能写成=0，0注： 1、空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。2、易混符号“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如,讲解范例：例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示（2） 判断下列写法是否正确A A AA 解（1）NZQR （2）正确；错误，因为A可能是空集 正确；错误例2 （1）填空：N_Z, N_Q, R_Z, R_Q， _0（2）若A=xR|x-3x-4=0,B=xZ|x|10,则AB正确吗？（3）是否对任意一个集合A，都有AA，为什么？（4）集合a,b的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为 .解：（1）NZ, NQ, RZ, RQ， 0（2）A=xR|x-3x-4=0-1,4,B=xZ|x|10=-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9AB正确（3）对任意一个集合A，都有AA，（4）集合a,b的子集有：、a、b、a,b（5）A、B的关系为.例3 解不等式x+32，并把结果用集合表示出来.解：xR|x+32=xR|x-1.例4若，求是实数的取值范围.解:依题意，有 解得。课堂练习：1、写出集合1，2，3的所有子集2、设A=x|x4，a=，则下列结论中正确的是（ ）（A）a A （B）aA （C）aA （D）aA3、确定整数x,y,使小结：子集的个数：由例与练习题，可知 (1)集合a,b的所有子集的个数是4个，即 ,a,b,a,b (2) 集合a,b,c的所有子集的个数是8个，即 ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c 猜想：(1)集合a,b,c,d的所有子集的个数是多少？() (2)集合的所有子集的个数是多少？() 结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是-1，非空真子集数为性质：（1）空集是任何集合的子集A（2）空集是任何非空集合的真子集A （A）（3）任何一个集合是它本身的子集3、交集交集定义： 且，图中阴影部分表示集合与的交集： 注意：此定义包含了两层含义：一层含义为凡是中的元素都是两集合与的公共元素；另一层含义是集合与中的所有公共元素都在中。另外，当两集合与没有公共元素时，不能说集合与没有交集，而是。交集的运算性质：；。4、并集并集定义： 或， 图中阴影部分表示集合与的并集： 注意：两集合的并集，公共元素只能出现一次。或包含了三种情况:但;但;且. 并集的运算性质：；。5、补集补集的定义：且，图中阴影部分表示集合在全集中的补集：补集的运算性质：；。二、知识精讲1、结合律、分配律；2、反演律(摩根法则)；3、传递性：若集合，则集合；若集合AB，BC，则集合AC。4、在进行运算和处理集合与集合的关系时，要注意以下结论的运用：；空集 是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解题中要注意对空集的讨论。5、表示交集、并集、补集关系的常见的几种韦恩图 题型一子集与真子集如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集. 如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集.例1 设A=0，1，B=x|xA，试用列举法表示集合B。变式1：已知，试确定A，B，C之间的关系。变式2：设A=0，1，B=x|xA，试用列举法表示集合B。变式3：满足的集合是什么?变式4：已知集合A=1,2,3,B=1,2,3,5,7,8，若集合C满足，求C的个数。题型二交集与并集由属于又属于的所有元素构成的集合叫与的交集.把给定的两个集合与的所有元素并在一起构成的集合叫与的并集.例1. A=，求实数p的取值范围。.例2、已知集合（1）求； （2）若全集。【作业】 1、设集合M=A，B，则满足的集合N的个数为（ ）A1B4C7D82、设S为全集，则下列结论中不正确的是 （ ）A B C D 3、已知集合P=x|(x1)(x4)0，xR，Q=n|(n1)(n4)0， nN，又知集合S，且SP=1,4,SQ=S，则S的元素个数