数学终极压轴 理湖南卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011KS5U2011 年高考终极压轴年高考终极压轴湖南卷湖南卷 数学数学（理科理科） 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的 空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域 内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式: 1 3 VSh.其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 4 40 0 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的） 1、复数 1 i Z i 的虚部为（ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 i D. 1 2 i 2若等差数列 n a的前三项和9 3 S且1 1 a，则 2 a等于（ ） A3 B.4 C. 5 D. 6 3命题“若1 2 x，则11x”的逆否命题是（ ） A若1 2 x，则1x或1x B.若11x，则1 2 x C.若1x或1x，则1 2 x D.若1x或1x，则1 2 x 4. 将函数sin(2) 4 yx 的图像向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位，则所得图像的函 数解析式是( ) A. 3 2sin(2) 4 yx B. 2sin(2) 4 yx C. 2sin2yx D. 2cos2yx 5、求曲线 2 yx与yx所围成图形的面积，其中正确的是（ ） A 1 2 0 ()Sxx dx B 1 2 0 ()Sxx dx C 1 2 0 ()Syy dy D 1 0 ()Syy dy 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 3 4 6、方程 32 2670(0,2)xx 在内根的个数为( ) A、0 B、-1 C、1 D、3 7、从 1,2,3,4,5,6 六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数, 这样的三位数共有（ ） A9 个 B24 个 C36 个 D54 个 8.设 P 为曲线 C：32 2 xxy上的点， 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 4 , 0 ， 则点 P 横坐标的取值范围为（ ） A. 2 1 , 1 B.-1，0 C.0，1 D. 1 , 2 1 二二、填空题填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应的题号后的 横线上） 9.如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则 该几何体的全面积为 . 10.在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物 中需对某种化学药品的加入量进行反复试验， 根据经验， 试验效果是该化学药品 加入量的单峰函数.为确定一个最好的效果， 拟用分数法从 33 个试验点中找出最 佳点，则需要做的试验次数至多是 . 11.已知 A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量AB uuu r 在向量CD uuu r 上 的投影为 . 12阅读图 1 的程序框图，若输入5n ，则输出k的值为 . 13.已知O的方程为 2 2cos 2 2sin x y （为参数） ， 则O上的点到直线 1 1 xt yt （t为参数） 的距离的最大值为 14.不论k为何实 数，直线1 kxy与曲线 0422 222 aaaxyx恒有交点，则实数 a 的取值范围 是 。 15.记函数 2 ( )2f xxx 的图象与x轴围成的区域为M,满足 0, , 2. y yx yx 的区域为N， 若向区域M上随机投一点P， 则点P落入区域N的概率为 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 三三、解答题解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤） 16.(本小题满分 12 分)已知向量 3 (sin , ),(cos , 1) 4 axbx rr . （1）当/ab rr 时，求 2 cossin2xx的值； （2） 设函数( )2()f xabb rrr ， 已知在ABC 中， 内角 A、 B、 C 的对边分别为abc、 、， 若 3 6 sin, 2, 3Bba,求 6 2cos4 Axf (0, 3 x )的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)已知数列 n a的前n项和是 n S，且13 n n S （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n b )1 (log 13 n S，求数列 nnb a的前 n 项和 n T. 18、 (本小题满分 12 分)某射击小组有甲、 乙两名射手， 甲的命中率为 1 P 3 2 ， 乙的命中率为 2 P， 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数 相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组” ； （1）若 2 P 2 1 ，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； （2）计划在 2011 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的 次数为，如果5E，求 2 P的取值范围。 19. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 ， 在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥 P ABCD 中 ， ,90ADBCABC，PA平面 ,3,2,2 3,6.ABCD PAADABBC （1）求证：BD 平面 PAC； （2）求二面角PBDA的大小. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 20. (本小题满分 13 分)已知函数 xaxxxf3 23 （1）若 xf在区间1，+）上是增函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 x=- 3 1 是 xf的极值点，求 xf在1，a上的最大值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 xg=bx 的图象与函数 xf的图象恰 有 3 个交点，若存在，请求出实数 b 的取值范围；若不存在，试说明理由. 21. (本小题满分 13 分)如图，在x轴上方有一段曲线弧，其端点A、B在x轴上（但不属 于） ， 对上任一点P及点)0, 1( 1 F，)0, 1 ( 2 F， 满足：22| 21 PFPF 直线AP， BP分别交直线)2(:aaxl于R，T两点 （1）求曲线弧的方程； （2）求| RT的最小值（用a表示） ； （3）曲线上是否存点P，使PRT 为正三角形？若存在，求a的取 值范围；若不存在，说明理由 A B P R T l x y O . F1 . F2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011KS5U2011 年高考终极压轴湖南卷年高考终极压轴湖南卷 数学数学（理科理科）参考答案参考答案 一一、选择题选择题：本大题每小题本大题每小题 5 5 分分，满分满分 4 40 0 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D A B C D A 二二、填空题填空题：本大题每小题本大题每小题 5 5 分分，满分满分 3 35 5 分分 9. 24 2 3 10. 7 11. 2 10 5 12. 3 13. 3 2 14. 31a 15. 3 4 三三解答题解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，共共 75 分分） 16解： （1） 33 / ,cossin0,tan 44 abxxx rr Q 2 分 2 2 222 cos2sin cos1 2tan8 cossin2 sincos1tan5 xxxx xx xxx 6 分 （2）( )2()2sin(2) 4 f xabbx rrr + 3 2 由正弦定理得 2 sin, sinsin24 ab AA AB 可得所以 9 分 6 2cos4 Axf2sin(2) 4 x 1 2 ,0, 3 x Q 11 2, 4412 x , 所以 2 1 2 6 2cos41 2 3 Axf -12 分 17. 解： （1） 当1n 时， 11 aS得2 1 a 当2n 时， 11 1 32) 13() 13( nnn nnn SSa， 当1n 时，2 1 a也满足 1 32 n n a *1, 32Nna n n （2） n b 13log)1 (log 1 313 nS n n ， 则3) 1(3332 2 110 n n nT 利用错位相减法可算得 2 13) 12( n n n T 18、解： （1）) 2 1 2 1 )( 3 2 3 2 () 2 1 2 1 )( 3 1 3 2 ( 1 2 1 2 CCP 3 1 ；- 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （2）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 2 22 2 222 1 2 1 2 9 4 9 8 ) 3 2 3 2 ()1 () 3 1 3 2 (PPPPPCCP 而),12(PB，所以PE12 由5E知512) 9 4 9 8 ( 2 22 PP 解得：1 4 3 2 P 19.解： （1）如图，建立坐标系， 则(0,0,0), (2 3,0,0),(2 3,6,0),(0,2,0),(0,0,3)ABCDP， (0,0,3),(2 3,6,0),( 2 3,2,0)APACBD uuu ruuu ruuu r ， 2 分 0,0.BD APBD AC uuu r uuu ruuu r uuu r ,BDAP BDAC， 又PAACAI， BDPAC面. 6 分 （2）设平面ABD的法向量为(0,0,1)m， 设平面PBD的法向量为( , , )x y zn， 则0,0BDBP uuu ruuu r nn 8 分 ( 2 3,0,3)BP uuu r Q 2 320 2 330 xy xz 解得， 3 2 3 3 yx zx 令3x ，则( 3,3,2)n 10 分 1 cos, | |2 m n m n mn 二面角PBDA的大小为60o. 13 分 20.解 （1）)(xf =3x 2-2ax-3,f(x)在1，+）上是增函数, )(xf 在1，+）上恒有 )(xf 0，即 3x 2-2ax-30 在1，+）上恒成立.则必有 3 a 1 且) 1 ( f=-2a0,a0. (2）依题意，) 3 1 ( f =0，即 3 1 + 3 2 a-3=0,a=4,f(x)=x 3-4x2-3x.令 )(xf =3x 2-8x-3=0，得 x1=- 3 1 ，x2=3. 则当 x 变化时，)(xf ,f(x)的变化情况如下表： x 1 (1,3) 3 (3,4) 4 )(xf - 0 + f(x) -6 -18 -12 f(x)在1，4上的最大值是 f(1)=-6. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （3）函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点，即方程 x 3-4x2-3x=bx 恰有 3 个 不等实根 x 3-4x2-3x-bx=0，x=0 是其中一个根，方程 x2-4x-3-b=0 有两个非零不等实根， . 37, 03 0)3(416 bb b b 且存在符合条件的实数 b，b 的范围为 b-7 且 b-3. 21.解： （1）由椭圆的定义，曲线是以)0, 1( 1 F，)0, 1 ( 2 F为焦点的半椭圆， 1,2, 1 222 cabac. 1 分 的方程为)0(1 2 2 2 yy x . 3 分 （注：不写区间“0y”扣 1 分） www.ks5u .comwww.ks5u .com 高#考#资#源#网 （2）解法 1：由（1）知，曲线的方程为)0(1 2 2 2 yy x ，设),( 00 yxP， 则有22 2 0 2 0 yx， 即 2 1 2 2 0 2 0 x y 4 分 又)0,2(A，)0,2(B，从而直线BPAP,的方程为 AP：)2( 2 0 0 x x y y； BP：)2( 2 0 0 x x y y 5 分 令ax 得R，T的纵坐标分别为 )2( 2 0 0 a x y yR； )2( 2 0 0 a x y yT. )2( 2 2 2 0 2 0 a x y yy TR 7 分 将代入， 得 )2( 2 1 2 ayy TR . 222 | |22| 22(2) RTRTRTRTRT RTyyyyy yy yy ya. 当且仅当 TR yy，即 TR yy时，取等号 即| RT的最小值是)2(2 2 a. 9 分 解法 2：设),(),(),( 21 yaTyaRnmP，则由RPA,三点共线，得 22 1 m n a y 同理，由TPB,三点共线得： 22 2 m n a y 5 分 由得： 22 2 2 2 21 m n a yy . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 由 2 11 2 2 22 2 m nn m ，代入上式， 2 1 2 2 1 2 2 2 2 21 m m a yy . 即)2( 2 1 2 21 ayy . 7 分 222 1212121212 | |22| 22(2)RTyyyyy yy yy ya， 当且仅当 21 yy ，即 21 yy时，取等号 即|