数学终极压轴 理福建卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011 年高考终极压轴福建卷（数学理） 一、选择填空题预测： 1已知i是虚数单位，m和n都是实数，且niim11)1 (，则 2009 )( nim nim 等于（ ） Ai Bi C1 D1 2一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为 （ ） A.8 B.2 C. D. 2 3 3已知函数( )sin()(,0,0,|) 2 f xAxxR A 的图象， （部分）如图所示， 则( )f x的解析式是 （ ） A( )2sin()() 6 f xxx R B( )2sin(2)() 6 f xxx R C( )2sin()() 3 f xxx R D( )2sin(2)() 3 f xxx R 4阅读右侧的算法框图，输出的结果S的值为 （ ） A0 B 3 2 C3 D 3 2 5对于二项式 n x x ) 1 ( 3 （ * nN） ，四位同学作出了四种判断： 存在 * nN，展开式中有常数项； 对任意 * nN，展开式中没有常数项； 对任意 * nN，展开式中没有x的一次项； 存在 * nN，展开式中有x的一次项. 上述判断中正确的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6若, a bR，命题 2 :1p ab；命题:q直线yaxb与圆 22 1xy相交，则p 是 q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 7设实数, x y满足 20 250 20 xy xy y ，则 22 xy u xy 的取值范围是 （ ） A 5 2, 2 B 5 10 , 23 C 10 2, 3 D 1 ,4 4 8已知函数 lnlnax fx x 在1,上为减函数，则实数a的取值范围是( ) A. 1 0a e B.0ae C.ae D.ae 9在ABC中，2AB ，3BC ，60ABC ，AD为BC边上的高，O为AD的中 点，若AOABBC uuu ruuu ruuu r ，则的值为 A 2 3 B 3 4 C 5 6 D1 10若对可导函数( )f x,( ),g x当0,1x时恒有( )( )( )( )fxg xf xg x,若已知, 是一锐 角三角形的两个内角,且,记 ( ) ( )( ( )0), ( ) f x F xg x g x 则下列不等式正确的是（ ） A(sin )(cos)FF B(sin )(sin)FF C(cos )(cos)FF D(cos )(cos)FF 11在ABC中，, 2 1 AB ABAC , 2 3 BA BABC 则AB的长为 12已知抛物线)0(2 2 ppxy焦点F恰好是双曲线 22 22 1 xy ab 的右焦点，且两条曲线交 点的连线过点F，则该双曲线的离心率为 . 13曲线 1 , 1 x yye x ，直线1x 所围成的区域的面积是 14在右面的数阵里，每行、每列的数依次均成等比数列， 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 其中 22 2a，则所有数的乘积为_. 15已知真命题：过抛物线 2 20ypx p的顶点 O 作两条互相垂直的直线，分别交抛物 线于另外两点 M、N，则直线 MN 过定点2 ,0Pp.类比此命题，写出关于椭圆 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 22 22 10 xy ab ab 的一个真命题： . 一一、三角概率三角概率考什么？怎样出题？ 1三角形问题：正弦定理，余弦定理。面积。 2两角和与差的三角函数。 3题目的形成：以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积） 4要注意二项分布的期望与方差二项分布的期望与方差，同学们要注意条件概率同学们要注意条件概率。 （。 （建议条件概率多看书上例题建议条件概率多看书上例题） 16泉州市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制 定评 分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次， 并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因， 能达到以上四个等次的概率分别为 1 1 1 1 2 3 8 24 ，且由此增加的产值分别为60万元、 40万元、20万元、5万元.设该企业当年因改造而增加利润为. () 在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？ （）求的数学期望. 评估得分 (0,60) 7060， 8070， 10080， 评定等级 不合格 合格 良好 优秀 奖惩 （万元） 80 30 60 100 二二、立体几何立体几何考什么？怎样出题？ 1平行（线线，线面，面面） ，重点仍是线面平面两种方法（线线法，面面法） 2垂直：条件与结论中都有垂直。重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化。 3面积与体积。 4题目的形成：长（正）方体一角，三棱柱一角。要注意寻找三度（相当于长宽高）的垂直。 中点问题常与中位线、中线、重心相关。求体积可结合变换法（如放缩法）更易。 17已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （）求这个组合体的表面积； （）若组合体的底部几何体记为 1111 DCBAABCD ，其中BABA 11 为正方形. （i）求证：DCABBA 111 平面； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （ii） 设点P为棱 11D A上一点， 求直线AP与平面DCAB 11 所成角的正弦值的取值范围. 三、应用题应用题考什么？怎样出题？ 1以实际问题为背景，转化为数学问题。 2常见模型：函数、方程、不等式；三角；数列；几何；统计与概率等 3解应用题的一般步骤：设、列、解、答。 18如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD的 池底水平铺设污水净化管道FHERt(，H是直角顶点）来处 理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口 H是AB的中点，FE,分别落在线段ADBC,上.已知 20AB米，310AD米，记BHE. （1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定 义域； （2）若2cossin，求此时管道的长度L； （3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的 长度. 四、解析几何解析几何考什么？怎样出题？ 1以直线、圆的方程、图形、关系为考查重点，充分运用其几何性质，包括常见的平面几何 知识。 2以椭圆（或双曲线、抛物线）为入口，求标准方程。 19已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab） ，其焦距为2c，若 51 2 c a （0.618） ，则称 椭圆C为“黄金椭圆” （1）求证：在黄金椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）中，a、b、c成等比数列 A B C D E F H 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （2）黄金椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦点为 2( ,0) F c，P为椭圆C上的 任意一点是否存在过点 2 F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足 2 3RPPF uuu ruuu u r ？若存在， 求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由 （3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别 是 1( ,0)Fc、 2( ,0) F c，以(,0)Aa、( ,0)B a、(0,)Db、(0, )Eb为顶点的菱形ADBE的内切 圆过焦点 1 F、 2 F试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关 的真命题，并加以证明 五、函数函数题题考什么？怎样出题？ 1函数的性质的考查（定义域、单调性、奇偶性、对称性、解析式、图象等） 2与不等式、导数等知识的联系 3充分考查数学思想、方法。 20已知二次函数 2 f xaxbxc和“伪二次函数” 2 g xax lnbxcx（a、b、 ,cR0abc ） ， （I）证明：只要0a ，无论b取何值，函数 g x在定义域内不可能总为增函数； （II）在二次函数 2 f xaxbxc图象上任意取不同两点 1122 ( ,), (,)A x yB xy，线段AB中 点的横坐标为 0 x，记直线AB的斜率为k， （i）求证： 0 ()kfx； （ii）对于“伪二次函数” 2 lng xaxbxcx，是否有（i）同样的性质?证明你的结论. 21(1)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换 若点 A（2，2）在矩阵 cossin sincos M对应变换的作用下得到的点为 B（2，2） ， 求矩阵 M 的逆矩阵 (2)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，曲线 C1：cos()2 2 4 与曲线 C2： 2 4 , 4 xt yt （tR）交于 A、B 两点求证：OAOB (3)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 5:不等式选讲 求证: * Nn, 13 2 2 1 2 1 1 1 n n nnn . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 答案： 1A 根据复数相等的充要条件11mn， 1 1 mnii i mnii ，故 20092009 () mni ii mni 【考前寄语考前寄语】复数的考查重在概念与代数形式的四则运算，注意两个复数相等的充要条件、 复数除法的运算规则 2C 容器的内部是一个圆锥，高为2，底面半径为1，故其体积为 2 12 12 33 【考前寄语考前寄语】三视图的规则是“长对正、高平齐、宽相等” ，注意实际几何体的可见轮廓线在 三视图中是实线、不可见轮廓线是虚线 3A 根据五点法作图的方法 15 , 326 ，解得, 6 【考前寄语考前寄语】三角函数的图象反应了三角函数的性质，是高考重点考查的一个知识点注意 “五点法作图”规则的“逆用” ，如本题中如果是用五点法作函数图象，那么函数图象上点 1 ,2 3 中的 1 3 ，就是令 2 x 求出来的， 1 3 x 必然适合这个方程，同理 5 6 x 适合方 程x 4A 该程序的功能是计算 22009 sinsinsin 333 L的值，根据周期性，这个算式中 每 连 续6个 的 值 等 于0， 故 这 个 值 等 于 前5个 的 和 ， 即 2345 sinsinsinsinsin0 33333 【考前寄语考前寄语】带有循环结构的程序框图中，其关键作用是是计数变量和累加变量，在解题时 要注意“循环变量的控制条件”和“累加变量的变化规律” 5C 展开式的通项公式是 4 1 rr n rn TC x ， 故只要存在正整数n和自然数r使40rn即可， 如1,4rn，故存在 * nN，展开式中有常数项；同理存在 * nN，展开式中有x的一次 项 【考前寄语考前寄语】二项式定理的核心是其通项公式，同时要注意特殊值法在于二项式定理有关问 题中的应用 6A 命题p等价于 22 0 1 1 a b ab ，命题q等价于 2 1 1 b a 即 22 1ab，显然由命题p可 得命题q，反之不真 【考前寄语考前寄语】解题时注意隐含条件的挖掘，如本题中 2 :1p ab等价转化就需要把隐含的 条件找出来注意从集合的观点认识充要条件 7C 在坐标平面上点, x y所表示的区域如图所示，令 y t x ，根据几何意义，t的值即为 区域内的点与坐标原点连线的斜率， 显然点,A B是其中的两个临界值， 点3,1A， 点1,2B， 故 1 2 3 t ， 22 1xy ut xyt ，这个关于t的函数在 1 ,1 3 上单调递减、在1,2上单调递 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 增，故其最小值为2，最大值为两个端点值中的大者，计算知最大值为10 3 【考前寄语考前寄语】线性规划类考题已经不仅仅局限在目标函数是线性的，但解决问题的思想方法 是一致的，在解决这类问题时，要注意分析目标函数，进行适当的转化 8 22 1 (lnln ) 1 (lnln ) xax ax x fx xx ，因为 fx在1,上为减函数，故 0fx 在1,上恒成立，即ln1 lnax 在1,上恒成立，等价于ln1 lnax 在1,上的最大值设 1 lnxx ， max1x，故ln1a ，ae，选答案 D 【考前寄语考前寄语】如果是给出一个函数求其单调递减区间，我们只要解不等式 0fx 即可，但 当已知一个函数在一个指定区间上单调递减时，必须是 0fx 在这个区间上恒成立、但不 恒为0这类问题一般就是转化为一个不等式恒成立问题，这个不等式如果能分离参数、分离 参数是一个有效的策略 9A 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，知| 1BD uuu r ，|3AD uuu r ，| 2DC uuur ， 3 (0,) 2 AO uuu r ，( 1,3)AB uuu r ，(3,0)BC uuu r ， AOABBC uuu ruuu ruuu r ， 3 (0,)( 1,3)(3,0) 2 ， 即 30 3 3 2 ， 解 得 1 2 1 6 ， 2 3 故选 A 【考前寄语考前寄语】本题考查的是平面向量基本定理的应用，同学们的一般心理是直接在三角形中 寻找问题的答案，想不到建立坐标系、通过向量的坐标运算解决，这个题目给大家提个醒， 在适合建立坐标系的情况下，向量问题用坐标解决更为方便 10A 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 112 依已知条件 13 cos, cos 22 bAaB，根据正弦定理得 13 2 sincos,2 sincos 22 RBARAB，两式相加得2 sin2RAB，即2 sin2RC ， 即2c 【考前寄语考前寄语】正、余弦定理是高中数学的两个重要定理，注意这两个定理的变形在涉及到 三角形边角关系的题目中，正、余弦定理是实现边角转化的工具，要结合题目的具体环境， 实现这个转化，但一般来说，把边的关系转化为角的关系、通过三角恒等变换解决问题是常 用的思考方式 1212 2 p c，根据对称性，两曲线交点连线垂直于x轴，对双曲线这两个交点连线的 长度是 2 2b a 、对抛物线这两个交点连线的长度是2p，即4c，故 2 2 4 b c a ，故 2 2bac，即 22 2caac，即 2 210ee ，解得12e 【考前寄语】在求椭圆、双曲线离心率的题目中，就是寻找, ,a b c所满足的一个方程，只要这 个方程找出来了，就可以将其转化为只含有, a c的方程，很多问题中这个关于, a c的方程是一 个齐次方程，就可以通过把这个方程两端同除以 2 a等，把其转化为一个关于离心率e的方程， 解这个方程就可以解决问题 要注意的是椭圆和双曲线中, ,a b c关系是不同的，许多同学就是 把这个关系弄错，导致解题失误的 13如图所示，这个面积等于定积分 1 1 0 0 1 ln(1)ln2 1 1 xx edxexe x 【考前寄语考前寄语】定积分的主要考查点就是利用微积分基本定理计算定积分和其在求曲边形面积 中的应用积分计算是导数计算的逆运算，解题时要根据导数公式检验积分运算 14答案：512. 利用等比中项公式，得 2222 113121123222133323212322 ,a aaa aaa aaa aa ， 于是，所有数的乘积为 99 22 2512.a 15填写以下四个答案之一 错误错误！未找到引用源未找到引用源。过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的长轴右端点 A 作两条互相垂直的 直线，分别交椭圆于另外两点 M、N，则直线 MN 过定点 )0 ,( 22 22 ba baa P 错误错误！未找到引用源未找到引用源。过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的长轴左端点 A 作两条互相垂直的直 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 线，分别交椭圆于另外两点 M、N，则直线 MN 过定点 )0 ,( 22 22 ba baa P 错误错误！未找到引用源未找到引用源。过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的短轴上端点 A 作两条互相垂直的直 线，分别交椭圆于另外两点 M、N，则直线 MN 过定点 ) , 0( 22 22 ba bab P 错误错误！未找到引用源未找到引用源。过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的短轴下端点 A 作两条互相垂直的直 线，分别交椭圆于另外两点 M、N，则直线 MN 过定点 ) , 0( 22 22 ba bab P 16解解： （）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P，则 111123 238248 P 4 分 （）依题意，的可能取值为185, 105, 80, 60, 50, 40,0,60,则 16 1 2 1 8 1 )50(, 6 1 2 1 3 1 )0(, 4 1 2 1 2 1 )60(PPP 4 1 2 1 2 1 )40(, 48 1 2 1 24 1 )185(PP， 111111111 (60), (80),(105) 326821624248 PPP 则其分布列为 185 105 80 60 50 40 0 60 P 1 48 1 48 16 1 1 6 1 16 1 4 1 6 1 4 10 分 1111115 (6040605080185 105 4616486 E ）（）（）（）（万元） 13 分 17() 表面积 S1044 2 1 21081082882 2 =56368. 4 分 ()（i）长方体 1111 DCBAABCD BABAAD 11 平面 BABABA 111 平面BAAD 1 又BABA 11 是边长为 8 的正方形 11 ABBAAADAB 1 DCABBA 111 平面. 9 分 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （ii）建立直角坐标系xyzD ，则0, 0 ,10A,8, 0,mP8, 0,10 mAP DCABBA 111 平面 8, 8, 0 1 BA 为平面DCAB 11 的法向量 6410 24 286410 64 sin 22 1 1 mmBAAP BAAP 10,0m 2 2 , 41 822 sin. 13 分 18（1）解： 10 cos EH ， 10 sin FH ， 22 10 (0) sincos2 EFEHFH . 由于10tan10 3BE， 10 10 3 tan AF ， 所以 3 tan3 3 ， 所以, 6 3 . 所以 101010 cossinsincos L ，, 6 3 .4 分 （2）解：当sincos2时， 1 sincos 2 ， 10(sincos1) 20( 21) sincos L （米）. 7 分 （3） 解： 10(sincos1) sincos L ， 设sincost， 则 2 1 sincos 2 t ， 所以 20 1 L t . 由于, 6 3 ，所以 13 sincos2sin(), 2 42 t .由于 20 1 L t 在 13 , 2 2 上单调递减，所以当 31 2 t 即 6 或 3 时，L取得最大值20( 31) 米. 答：当 6 或 3 时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20( 31)米. 13 分 （1）证明：由 51 2 c a 及 222 bac，得 222222 5151 () 22 bacaaa ac，故a、b、c成等比数列 （3 分） （2）解：由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为()yk xc， 得(0,)Rkc，又 2( ,0) F c，及 2 3RPPF uuu ruuu u r ，得点P的坐标为 3 (,) 22 c kc ， （5 分） 因为点P在椭圆上，所以 22 22 3 22 1 ckc ab ，又 2 bac，得 2 2 9 1 44 ckc aa ， 2 135 5 0 2 k ，故存在满足题意的直线l，其斜率 135 5 2 k （6 分） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C： 22 22 1 xy ab ，其焦距为2c，若 51 2 c a （或写成 51 2 a c 0.618） ，则称双曲线C为“黄金双曲线” （8 分） 在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C： 22 22 1 xy ab 的左、右焦点分别是 1( ,0)Fc、 2( ,0) F c，以 1( ,0)Fc、 2( ,0) F c、(0,)Db、(0, )Eb为顶点的菱形 12 FDF E的内切圆过顶点 (,0)Aa、( ,0)B a （10 分） 证明：直线 2 EF的方程为0bxcybc，原点到该直线的距离为 22 bc d bc ， 将 2 bac代入，得 2 c acc a d ac acc ，又将 51 2 ca 代入，化简得da， 故直线 2 EF与圆 222 xya相切，同理可证直线 1 EF、 1 DF、 2 DF均与圆 222 xya相切， 即以(,0)Aa、( ,0)B a为直径的圆 222 xya为菱形 12 FDF E的内切圆，命题得证 （13 分） 20解： （I）如果0, ( )xg x为增函数, 则 2 2 ( )20 caxbxc g xaxb xx (1)恒成立, -1 分 当0 x 时恒成立, 2 20axbxc(2) 0,a Q由二次函数的性质, (2)不可能恒成立. 则函数( )g x不可能总为增函数. -4 分 （II） （i） 22 212121 2121 ()f xf xa xxb xx k xxxx = 0 2axb. -6 分 由( )2,fxaxb 00 ()2fxaxb,.7 分 则 0 ()kfx-7 分 （ii）不妨设 21 xx,对于“伪二次函数”: 法 一: 2 ln( )lng xaxbxcxf xcxc. 2 21 21 1 2121 ()()ln x f xf xc g xg xx k xxxx 2 1 0 21 ln (), x c x fx xx (3) -9 分 又 00 0 () c gxfx x , 高考资源网（）