数学考点专项突破立体几何空间几何体讲义pdf

立体几何（空间几何体）立体几何（空间几何体） 教 师：苗金利 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 - 第 1 页 - 立体几何（空间几何体）立体几何（空间几何体） 一、知识要点一、知识要点 1 多面体（性质、侧面积、体积） （1） 棱柱：斜棱柱，直棱柱，正棱柱 （2） 棱锥：棱锥，正棱锥 （3） 棱台：棱台，正棱台 2 旋转体（性质、表面积、体积） （1） 圆锥 （2） 圆柱 （3） 圆台 （4） 球 3 截面 二、例题分析二、例题分析 例例 1 （1）正四棱锥的侧棱与底面成45?角，则侧面与底面所成的二面角的正弦是（ ） （A） 3 2 （B） 2 2 （C） 15 15 （D） 6 3 （2）长方体的全面积是 22，棱长之和为 24，其对角线长为（ ） （A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （3）已知过球面上 A、B、C 三点的截面到球心的距离等于球的半径的一半，且 AB=AC=BC=2，球的 面积是（ ） （A） 16 9 （B） 8 3 （C）4 （D） 64 9 （4）地球半径为 R，在北纬30?圆上有两点 A、B.A 点的经度为东经120?，B 点的经度为西经60?，则 A、B 两点的球面距离是（ ） （A） 1 3 R （B） 3 2 R （C） 1 2 R （D） 2 3 R （5）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ） （A）8 2 （B）8 （C）4 2 （D）4 （6）正方体 ABCD-A1B1C1D1中 P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过 P、Q、 R 的截面图形是（ ） （A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 （7）已知 a、b、c 是直线，是平面，给出下列命题： 若cacbba/,则； 若cacbba则,/； 若baba/,/则； 若 a 与 b 异面，且与则ba,/相交； 若 a 与 b 异面，则至多有一条直线与 a，b 都垂直. 其中真命题的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 - 第 2 页 - （8） 矩形 ABCD 中， AB=4， BC=3， 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BACD， 则四面体 ABCD 的外接球的体积为（ ） （A） 125 12 （B） 125 9 （C） 125 6 （D） 125 3 （9）已知直线 m、n 与平面、，给出下列三个命题： 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 nm； 若 m，m，则 其中真命题的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （10） 如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1中， AA1AB2， AD1， E、 F、 G 分 别 是 DD1、AB、CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是（ ） （A）arccos 15 5 （B） 4 （C）arccos 10 5 （D） 2 （11）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A）22 3+ （B）42 3+ （C） 2 3 2 3 + （D） 2 3 4 3 + 例例 2 （1）在正方体 DCBAABCD 中，过对角线 BD的平面交 AA于 E，交 CC于 F， 四边形EBFD一定是平行四边形 四边形EBFD有可能是正方形 四边形EBFD在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形EBFD有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号） （2） 在ABC?中，9,15,120 ,ABACBAC=它所在平面外一点 P 到三个顶点的距离都是 14， 则点 P 到平面 ABC 的距离是 . （3）斜三棱柱 111 ABCABC中，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 3，侧棱 1 AA与底面相邻两 边的 AB，AC 都成45?，则其全面积是 . （4）三棱锥 P-ABC 的侧棱两两垂直，底面上有一点 M 到三个侧面的距离分别为 2，3，4，则 PM . - 第 3 页 - （5）正三棱锥 P-ABC，侧面顶角是20?，侧棱长为a，过 A 作截面 AEF 与侧棱 PB、PC 交于 E、F， 则截面AEF?周长的最小值是 . （6）已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，球心到这两个截 面的距离之差是 1，则球的半径是 . （7）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积 是 3 cm. 例例 3某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示，墩的上半部 分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线 BD平面 PEG. 图 1 图 2 图 3 - 第 4 页 - 例例 4如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4， BC=CD=2， AA1=2，E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点。 （1）证明：直线 EE 1 /平面 FCC1； （2）求二面角 B-FC1-C 的余弦值. 例例 5右图是一个直三棱柱（以 111 ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知 1111 1ABBC=， 111 90ABC= ? ， 1 4AA =， 1 2BB =， 1 3CC =. （1）设点O是AB的中点，证明：OC平面 111 ABC； （2）求AB与平面 11 AAC C所成的角的大小； （3）求此几何体的体积. - 第 5 页 - 例例 6在一个轴截面是等边三角形的圆锥形容器内，放一个半径为 r 的铅球，并往该容器内注水，使 水面与球相切，然后把球取出，求圆锥内水的高度. 例例 7矩形 ABCD 的一边 BC 被点 M 分成黄金比（ 51 2 CMCB =）. 求证：,ACDACMABM?，以 CD 为轴旋转一周所得旋转体的体积相等. - 第 6 页 - 例例 8在母线长为 20cm，上下地面半径分别为 5cm，10cm 的圆台中，从母线 AB 的中点 M 拉一条绳 子，围绕圆台侧面转到 B 点，问当这条绳子最短时，它有多长？这条最短绳子的点和圆台上底圆周上 点之间的距离中，最短是多少？ 例例 9在高为 H，底面半径为 R 的圆锥内，过轴 VO 上一点 P 作平行于底面的截面，求以此截面及底 面 D 为顶点的圆锥的最大体积. - 第 7 页 - 参参 考考 答答 案案 例 1、 （1）D 解析： 6 sin 3 VO VMO VM = （2）A 解析： () 22222 424 abbcac abc += += 对角线()() 2 222 214labcabcabbcac=+=+= （3）D 解： 2 2 sin60 r= （r为ABC外接圆半径） 2 3 r = 2 16 9 R= 64 9 S= 球 （4）D 解析略。 （5）B 解析：1r = 2R= 8S= （6）D 解析略。 （7）A 解析：错误；正确；错误；错误；错误。 （8）C 解：由图可知AC中点为球心O 5 2 R= 125 6 V = （9）C 解析：错；正确；正确，选C。 （10）D 解：连接BG、B1F 则B1G=2，B1F =5，FG =3 cosFGB1= 235 2 23 + = 0 1 2 FGB= 选D - 第 8 页 - （11）C 解：实物图为 12 22323 33 V=+ =+ 选C。 例2、 （1） （2）7 （3）2 36 26+ （4）29 （5）a （6）3 （7）18 例3、 （1） （2） 1 40402040406064000 3 V=+= （3）证明：设ABCD中心为O BDPO 又BDEG BDPEG 面 例4、 （1）证明：ADFC DD1C1C 11 A ADD面面FCC1 E1E面FCC1 （2）面C1CF面BCF 过B作BHCF于H 则BH面C1FC 过H作HGC1F 垂足为G 连GB 1 BGC F BGH即为所求 在BGH中解得cosBGH= 7 7 例5、 （1）证明：设A1B1中点为m，连接OM，则() 11 1 3 2 OMAAB B=+= OMC1C 四边形OMC1C为平行四边形 COC1M 又OC面A1B1C1 C1M面A1B1C1 OC面A1B1C1 （2）设AA1中点为N，连接B1N 设A1C1中点为H，连接B1H，NH 则B1NH即为所求 1 2 2 B H= 1 3B N= 1 2 6 2 sin 63 B NH= 1 6 arcsin 6 B NH= （3）() 1125 1 1 2122 3222 V= += - 第 9 页 - 例6、设水的高度为h 如图BC=3r CD=3r () 2 2 3 1134 33 3333 rrhhr =+ 315 hr= 例7、证明：设旋转得到的圆柱高为b，底面半径为a 2 Va b= 柱 V锥= 2 1 3 a b 2 222 151511 3223 Vbaaaa b =+= 中 命题得证。 例8、解析： MB 即为所求 由图可知 2010 20 = 2 = 10 20 2 r = 50cmMB= 过O作OF