数学高频考点8合情推理和演绎推理素材pdf

原创资料 编者：邓永生 高频考点高频考点 8 合情推理和演绎推理合情推理和演绎推理 【考情报告考情报告】 （知识点： 类比推理 归纳推理 演绎推理） 考查要点考查要点： （1）了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理。 （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 （3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 命题预测命题预测： 本内容的试题具有较大的灵活性和综合性， 试题以基础知识和知识的基本应用为 手段， 以考查学生思维的敏捷度和即学即用的能力。 预测其题型主要为选择题和填空题形式， 难度中等，需注意掌握解决问题的基本方法，呈现的知识背景主要是函数、数列、三角、不 等式、解析几何等。考查分值：5 分。推荐指数： 【热点典例热点典例】 热点一：归纳推理热点一：归纳推理 例 1、 （2009 江苏卷 3）将全体正整数排成一个三角形数阵： 根据以上排列的规律，数阵中第n（）行从左向右的第 3 个数为 3n。 【答案】 2 6 2 nn 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前1n行共用了12 3(1)n (1) 2 nn 个数，因此第行从左向右的第 3 个数是全体正整数中的第n)(3n (1) 3 2 nn 个，即为 2 6 2 nn 【点评】从特殊到一般，是归纳的特点.用归纳的方法提的.本题从数表的特点出发，仔细观 察每一行导出一般性结论是以审题、 经验和直觉为前数的特征， 不难发现每行的最后一个数 的规律性. 例 2、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3 135sin75sin15sin 020202 ； 2 3 150sin90sin30sin； 020202 2 3 165sin105sin45sin 020202 ； 2 3 180sin120sin60sin 020202 【分析】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” 1 原创资料 编者：邓永生 【解析】猜想： 2 3 )60(sinsin)60(sin 02202 证明：左边= 2002200 )60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin = 2 3 )cos(sin 2 3 22 =右边 【点评】 （1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型” ，二是“递推型” ，三是“循环型” （周期性） 热点二：类比推理热点二：类比推理 例 3、在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性 质,并证明你的猜想 ABC 0 90C1coscos 22 BA 【分析】 考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比 到空间。 【解析】 由平面类比到空间,有如下猜想: “在三棱锥ABCP 中， 三个侧面 两两垂直，且与底面所成的角分别为 PCAPBCPAB, ,，则” 1cos2 2 coscos2 证明：设P在平面的射影为O，延长交于ABCCOABM，记hPO 由得，从而PBPCPAPC,PABPC面PMPC ，又PMC PC h PCO sincos， PA h cos， PB h cos hPAPCPCPBPBPAPCPBPAV ABCP )cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 ( 3 1 6 1 1) coscoscos (h PBPAPC 即 1coscoscos 222 【点评】 （1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积， 平面上的角对应空间角等等； （2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线 面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 例 4、在DEF 中有余弦定理：. 拓展到空间， 类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱 ABC-的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成 二面角之间的关系式，并予以证明. DFEEFDFEFDFDEcos2 222 111 CBA 【解析】 根据类比猜想得出. cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 其中为侧面为与所成的二面角的平面角. 11A ABB 11B BCC 证明： 作斜三棱柱的直截面 DEF， 则 111 CBAABC DFE为面与面所 11A ABB 11B BCC 2 原创资料 编者：邓永生 成角，在中有余弦定理： DEF 2 DFDE 2 1 AA 2 1 2 AADE 1 2 ABBCC S cos2 22 EFDFEF， 同乘以，得 cos2 11 2 1 22 1 2 AAEFAADFAAEFAADF 即 S cos2 111111111 22 BBCCAABBBBCCAAA SSS 【点评】 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广， 因为类比是数学发 现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。 常见的类比：平面空间；线面；圆球；面积体积；周长表面积。 热点三：热点三： 演绎推理演绎推理 例 5、. 已知函数f(x) a ax a(a0 且a1)， (1)证明：函数yf(x)的图象关于点(1 2， 1 2)对称； (2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值 【解析】(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(1 2， 1 2) 对称的点的坐标为(1x，1y) 由已知得y a ax a，则 1y1 a ax a ax ax a， f(1x) a a1 x a a a x a a aax a aax ax ax a，1yf(1x)， 即对称点(1x，1y)也满足函数 yf(x) 函数yf(x)的图象关于点(1 2， 1 2)对称 (2)由(1)有1f(x)f(1x)，即 f(x)f(1x)1. f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1， 则 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3. 【点评】演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.值得提醒是 合情推理推出的结论不一定正确，有待进一步证明，演绎推理在大前提、小前提和推理形式 都正确的前提下得到的结论一定正确。 3 原创资料 编者：邓永生 【抢分专题训练】专题训练】 1、对于任意的两个实数对和，规定：( ,( , )a b( , )c d)( , )a bc d，当且仅当；运 算“”为：( , ,ac bd )( , )a bc dbd(ac,bcad；运算“”为：( , )( , )a bc d(,)a c b d，设 , p qR，若(1，则(1,2)( , )p q(5,0),2), )p q（ ） A(4 B C D(0,0)(2,0)(0,2), 4) 【答案】B 【解析】由题意，解得，所以正确答案为（B） 02 52 qp qp 21 1p 【点评】实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算我们可以把 该题还原为：已知复数z满足5)21 (zi，则zi)21 (_ 2、设 010211 ( )cos ,( )( ),( )( ),( )( ) nn fxx f xfxfxfxfxf x,nN , 则 2010( ) fx=（ ） A. sin x B. cosx C. sinx D. cosx 【答案】B 【解析】，xxfcos)( 0 xxfsin)( 1 xxfcos)( 2 ，xxfsin)( 3 ， ， xxfcos)( 4 )(xfn 2010 )( 4 xfn( )fxxf)( 2 =xcos 。 3、观察 2 ()2xx， 43 ()4xx，(cos )sinxx ，由归纳推理可得：若定义在R上的 函数( )f x满足()( )fxf x，记为( )g x( )f x的导函数，则()gx= （ ） A( )f x B( )f x C D( )g x( )g x 【解析】观察 2 ()2xx， 43 ()4xx，(cos )sinxx ，可知 24 ( ),( ),( )cosf xxf xxf x ( )g x x均为偶函数，而其导数均为奇函数，由此推理可得偶函 数的导函数为奇函数，故为奇函数，选 D. 【答案】D 4、如图，圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点一只青蛙按顺时 针方向绕圆从一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能 跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点该青蛙从 5 这点跳 起，经 2010 次跳后它将停在的点是 ( ) 4 原创资料 编者：邓永生 A1 B2 C3 D4 【解析】an表示青蛙第 n 次跳后所在的点数，则 a11，a22，a34，a41，a52， a64，显然an是一个周期为 3 的数列，故 a2010a34. 【答案】D 5、在实数集上定义运算：)1 (yxyx，若不等式1)()(axax对任意实数x都成 立，则实数的取值范围是 a 【答案】) 2 3 2 1 (，. 【解析】1)()(axax011)1)( 22 aaxxaxax， 2 3 2 1 0344 2 aaa。 6、 （2011 浙江 调研测试）设 M1(0，0)，M2(1，0)，以 M1为圆心，| M1 M2 | 为半径作圆交 x 轴于点 M3 (不同于 M2)，记作M1；以 M2为圆心，| M2 M3 | 为半径作圆交 x 轴于点 M4 (不同 于 M3)， 记作M2； ； 以 Mn为圆心， | Mn Mn+1 | 为半径作圆交 x 轴于点 Mn+2 (不同于 Mn+1)， 记作Mn；当 nN*时，过原点作倾斜角为 30的直线与Mn交于 An，Bn 考察下列论断： 当 n1 时，| A1B1 |2； 当 n2 时，| A2B2 |15； 当 n3 时，| A3B3 | 23 35421 3 ； 当 n4 时，| A4B4 | 34 35421 3 ； 由以上论断推测一个一般的结论： 对于 nN*，| AnBn | 11 354( 1)1 3 nnn +2 【答案】 【解析】观察所给表达式的规律，由归纳推理可得。 7、在平面内有 n(nN*，n3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若 这 n 条直线把平面分成 f(n)个平面区域，则 f(5)的值是_f(n)的表达式是 _ 【答案】16 n2n2 2 【解析】本题是一道推理问题通过动手作图，可知 f(3)7，f(4)11，f(5)16，从中可归 纳推理，得出 f(n)f(n1)n，则 f(n)f(n1)n，f(n1)f(n2)n1， 5 原创资料 编者：邓永生 f(n2)f(n3)n2，f(5)f(4)5，f(4)f(3)4， 将以上各式累加得： f(n)f(3)n(n1)(n2)54(4n)(n3) 2 ， 则有f(n)(4n)(n3) 2 f(3)(4n)(n3) 2 7n 2n2 2 8、已知数列为等差数列，若，（， ） ，则 n a m aa= n ab=1nm-Nnm, mn nbma bd= a nm + - = - . 类比等差数列的上述结论，对于等比数列（，） 若，（，m, n a n b0 n b n N m bc= n 2nm-Nn） ，则可以得到= mn b + . 【答案】 n m n m d c - 【解析】解法 1：设数列的公差为d，则 n a nm aa d nm - = - = ba nm - - . 所以= mnm aan + =+d ba an nm - + - = bnam nm - - . 类比推导方法易知：设数列的公比为，由可知. n b q n m nm bb q - = n m dcq - = q= n m d c - .所以 n mnm bb q + =c ( ) n m n d c - = n m n m d c - . 所以 解法 2： （直接类比）因为等差数列中，等比数列中， 1 (1) n aand=+- 1 1 n n aa q - = 因为 mn nbma a，所以 nm + - = - mn b + = n m n m d c - . 9、某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）为她们刺绣最简单的四个 图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小 正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含n( )f n个小正方形. (4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1) （1）求出(5)f的值； 6 原创资料 编者：邓永生 （2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出(1f n)与( )f n之间的关系式，并根据你 得到的关系式求出( )f n的表达式； （3）求（3）求 1111 (1)(2) 1(3) 1( ) 1ffff n 的值.的值. 【解析】（）(5)41f3 分 （）因为4 分 (2)(1)44 1 (3)(2)84 2 (4)(3)124 3 (5)(4)164 4 ff ff ff ff 由上式规律，所以得出(1)( )4f nf n n6 分 因为(1)( )4(1)( )4f nf nnf nf nn 2 ( )(1)4(1)(2)4(1)4(2) (3)4(1)4(2)4(3) (1)4(1)4(2)4(3)4 221 f nf nnf nnn f nnnn fnnn nn 9 分 （）当时，2n 1111 (1)(2) 1(3) 1( ) 1ffff n 11 分 所以 1111 (1)(2) 1(3) 1( ) 1 11111111 11 2223341 1131 11 222 ffff n nn nn 14 分 评析：本题考查了归纳推理求数列通项，考查学生观察和分析问题的能力。 10、 已知各项