数学高频考点9坐标系与参数方程素材pdf

原创资料 编者：邓永生 高频考点高频考点 9 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 【考情报告考情报告】 （知识点：极坐标系 参数方程） 考查要点考查要点： （1）理解极坐标系的作用，能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或是 圆心在极点的圆）的方程。 （2）理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的 互化。 （3）了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数 方程。 命题预测命题预测：预测题型主要为选择题和填空题形式，侧重考查参数方程和普通方程的互化，极 坐标系与普通坐标系的互化。考查分值：5 分。推荐指数： 【热点典例热点典例】 热点一：参数方程与普通方程的互化 例 1、 （2010 天津理数 13）（2010 天津理数 13）已知圆 C 的圆心是直线 1 xt yt （t为参数）与x轴的交点，且 圆 C 与直线 x+y+3=0 相切，则圆 C 的方程为 【答案】 22 (1)2xy 【解析】令 y=0 得 t=-1，所以直线 1 xt yt 与 x 轴的交点为（-1.0） 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 | 1 03| 2 2 r ，所以圆 C 的方程为 22 (1)2xy 【点评】本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于 容易题。直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 热点二：极坐标与直角坐标的互化热点二：极坐标与直角坐标的互化 例 2、 （2010 广东理数广东理数 15）在极坐标系( , ) （02）中，曲线2sin 与 cos1 的交点的极坐标为_ 【答案】 3 ( 2,) 4 原创资料 编者：邓永生 【解析】由极坐标方程与普通方程的互化式 cos , sin x y cos , sin x y 知，这两条曲线的普通方程分别 为 解得由 22 2 ,1xyy x 1, 1. x y 得点 （-1， 1） 的极坐标为 3 ( 2,) 4 【点评】 如果由所给的方程是较难判定表示什么曲线， 通常要将极坐标方程化为普通方程再 来研究。 热点三：热点三： 运用参数方程求最值运用参数方程求最值 例 3、 （2008 江苏卷江苏卷 21）在平面直角坐标系xOy中，点是椭圆(P xy， ) 2 2 1 3 x y上的一 个动点，求的最大值 Sxy 【解析】因椭圆 2 2 1 3 x y的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） 故可设动点的坐标为P( 3cos ,sin），其中02. 因此 31 3cossin2(cossin )2sin() 22 Sxy 3 所以，当 6 时，取得最大值 2。 S 【点评】在所求函数为一次。而已知方程为二次时，常常用曲线的参数方程表示曲线上任意 动点，然后求出最值。其实质是换元或三角代换，目的就是实现降次，利用三角函数的有界 性求得最值。 热点四：热点四： 由极坐标求最值由极坐标求最值 例 4、 在极坐标系中， 设圆3上的点到直线(cos3sin )2的距离为， 求的 最大值。 dd 【解析】 法一： 将极坐标方程3转化为普通方程： 22 9xy，(cos3sin )2 可化为3xy2，在上任取一点 22 9xy(3)Acos ,3sin，则点A到直线的距离 为 |3cos3 3sin62| sin(30 22 d )2| ，它的最大值为 4. 法二：将极坐标方程3转化为普通方程： 22 9xy，(cos3sin )2可化为 3xy2，则圆心到直线的距离为 1，圆的半径为 3，所以圆上的点到直线的最大距离 为 4. 原创资料 编者：邓永生 【点评】 在求点线距离时常常转化为普通方程解答， 而且要学会转化的思想和数形结合的思 想。本题可以先将极坐标方程化普通方程，再利用参数方程或是点线几何关系，运用公式求 解即可。 热点五：热点五： 极坐标和参数方程的综合应用极坐标和参数方程的综合应用 x例 5、在直角坐标系oy中，直线l的参数方程为 2 3, 2 2 5 2 xt yt （t 为参数） 。在极坐标系 （与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为2 5sin。 （）求圆 C 的直角坐标方程； （）设圆 C 与直线l交于点 A、B，若点 P 的坐标为(3, 5)，求|PA|+|PB|。 【解析】 （）由2 5sin得 22 2 50,xyy即 22 (5)xy5. （）将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 22 22 (3)()5 22 tt， 即 2 3 240,tt由于 2 (3 2)4 420 ，故可设是上述方程的两实根， 12 ,t t 所以 12 1 2 3 2 ,( 4 tt lP t t 又直线 过点3, 5),故由上式及 t 的几何意义得： |PA|+|PB|= 12 | t |+|t | 12 t +t =3 2。 【点评】考查参数方程和极坐标方程的综合问题，需要我们掌握其基础知识，能将参数方程 或极坐标方程化为普通方程来研究。 特别是参数方程化普通方程时， 需要注意参数的范围限 制，避免出错。 【抢分专题训练】专题训练】 1、参数方程为 1 ( 2 xt tt y 为参数)表示的曲线是（ ） A一条直线 B两条直线 C一条射线 D两条射线 【答案】D 【解析】表示一条平行于2y x轴的直线，而，所以表示两条射线 2,2xx或 原创资料 编者：邓永生 2、直线 1 1 2 () 3 3 3 2 xt t yt 为参数和圆 22 16xy ,A B交于两点， 则AB的中点坐标为（ ） A(3 B, 3)(3,3) C( 3, 3) D(3,3) 【答案】D 【解析】 22 13 (1)( 3 3)16 22 tt ，得 2 880tt， 12 12 8,4 2 tt tt 中点为 1 14 3 2 33 3 34 2 x x y y 3、圆5cos5 3sin的圆心坐标是（ ） A 4 ( 5,) 3 B( 5,) 3 C(5,) 3 D 5 ( 5,) 3 【答案】A 【解析】圆5cos5 3sin化为普通方程为 22 55 3xyxy0，则圆心为 55 3 ( ,) 22 ，化为极坐标得 4 ( 5,) 3 4、 （2010 安徽理数）设曲线的参数方程为C 23cos 1 3sin x y （为参数） ，直线 的方程 为，则曲线C上到直线l距离为 l 32xy 0 7 10 10 的点的个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】B 【解析】化曲线C的参数方程为普通方程： 22 (2)(1)xy9，圆心(2到直线 的距离 , 1) 32xy 0 |23 ( 1)2| 10 d 7 103 10 ，直线和圆相交，过圆心和l平行 的直线和圆的 2 个交点符合要求， 又 7 107 10 3 1010 ， 在直线l的另外一侧没有圆上的点 原创资料 编者：邓永生 符合要求，所以选 B. 【点评】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离 判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l距离为 7 10 10 ，然后再判断知 7 107 10 3 1010 ，进而得出结论. 5、若直线 12 1 xt yt （t为参数）被曲线 1 3cos 1 3sin x y （为参数，R）所 截，则截得的弦的长度是_. 【答案】 6 5 5 【解析】直线 12 1 xt yt （为参数）化成普通方程得t23xy0，将曲线 1 3cos 1 3sin x y （为参数，R）化成普通方程得(1 22 (1)9xy)，则圆心到直 线的距离为 |12 3|6 55 d，则弦长为 366 5 55 2 9l。 6、 （2010 广东文数 15）在极坐标系),()20(中，曲线1)sin(cos与 (sincos )1的交点的极坐标为 . 【答案】【答案】(1,) 2 【解析】 【解析】转化为直角坐标系下1xy与1yx的交点，可知交点为，该点在极坐 标下表示为 (0,1) (1,) 2 。 7、 （2009 安徽卷理 12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标 系 中 取 相 同 的 长 度 单 位 。 已 知 直 线 的 极 坐 标 方 程 为( 4 )R ， 它 与 曲 线 12cos 22sin x y （为参数）相交于两点 A 和 B，则|AB|=_. 原创资料 编者：邓永生 答案：14 解析： 直线的普通方程为yx，曲线的普通方程 22 (1)(2)4xy， 22 |1 2| | 2 2()1 1 1 AB 4 2 8 、 (2008 广 东 理 科 13) 已 知 曲 线的 极 坐 标 方 程 分 别 为 1 CC，cos3， 4cos0 0 2 ，则曲线与交点的极坐标为 1 CC2 【答案】(2 3,) 6 。 【解析】我们通过联立解方程组 cos3 (0,0 4cos2 ) 解得 2 3 6 ，即两曲线 的交点为(2 3,) 6 。 【评析】本题考查了直线与圆的极坐标方程和点的极坐标书写。 9、在极坐标系中，已知圆2cos与直线3 cos4 sin0a相切，求实数a的 值。 【解析】 2 2 cos，圆=2cos的普通方程为： 2222 2 ,(1)1xyx xy， 直线3 cos4 sin0a的普通方程为：340 xya， 又圆与直线相切，所以 22 |3 14 0| 1, 34 a 解得：2a，或8a 。 10、在直角坐标系xOy中，以 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极方程 为 2 42 sin() 圆 O 的参数方程为 2 cos 2 2 sin 2 xr yr ， （为参数，） 0r （1）求圆心的极坐标； （2）当为何值时，圆 O 上的点到直线l的最大距离为 3 r 【解析】 （1）圆心坐标为) 2 2 , 2 2 ( 1 分 原创资料 编者：邓永生 设圆心的极坐标为),(则1) 2 2 () 2 2 ( 22 2 分 所以圆心的极坐标为) 4 5 , 1 ( 4 分 （2）直线l的极坐标方程为 2 2 )cos 2 2 sin 2 2 ( 直线l的普通方程为 6 分 01yx 圆上的点到直线l的距离 2 | 1sin 2 2 cos 2 2 | rr d 即 2 | 1) 4 sin(22| r d 7 分 圆上的点到直线l的最大距离为3 2 122 r 9 分 2 24 r 10 分 11、已知曲线 C 的极坐标方程是sin2,设直线l的参数方程是 ty tx 5 4 2 5 3 （t为参 数） 。 （1）将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）设直线l与x轴的交点是 M，N 为曲线 C 上一动点，求|MN|的最大值。 【解析】（1）曲线C的极坐标方程可化为： ， sin2 2 又 .sin,cos, 222 yxyx 所以，曲线C的直角坐标方程为： 6 分 . 02 22 yyx （2）将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得：)2( 3 4 xy 8 分 令得0y2x即 M 点的坐标为（2，0） 又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为（0，1） 原创资料 编者：邓永生 半径5|, 1MCr则，15|rMCMN 13 分 |MN|的最大值为5+1。 12、（2008海南宁夏卷理23） 已知曲线C1：（ siny ,cosx 为参数） ， 曲线C2： . 2 2 ,2 2 2 y tx （t 为参数） 。 （）指出 C1，C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数； （）若把 C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线。写出 的参数方程。C与C公共点的个数和 C1公共点的个数是否相同？说明你的理 由。 12 ,C C 12 ,C C 1 2 2 C与 【解析】 （）C1是圆，C2是直线，C1的普通方程是 22 1xy，C2的普通方程是 20 xy. 因为圆心C1到直线 20 xy的距离是1, 所以C1与C2只有一个公共点. （） 压缩后的参数方程分别为 C1： cos ( 1 sin 2 x y ) 为参数 ， 曲线 C2： 2 2 2 () 2 4 x