文科数学重点班

高安中学 2020 届高三周考试题（三） 数学（文科） 答案 1D 【详解】集合0,1,2,3,4,5,6A，2,4,6,8B ， 所以2,4,6AB， 2A 【解析】由题设可知 111 12 iii zi i ，则zi，即该复数的虚部为 1，应选 3D 【详解】 : a a 表示与a 方向相同的单位向量， : b b 表示和b 同向的单位向量，因此: ab ab 成立则一定有：a 与b 平行且同向，反之，a 与b 同向则与两个向量各自同向的单位向量也 是同向的.故 a ab b 和 / /ab 且方向相同，这两个条件是可以互相推导出来的. 4C 【解析】试题分析：做出线性约束条件下的可行域，可行域为由直线 x = 2,y = 1,x + 2y = 2 围 成的三角形，三角形的三个顶点分别为(2,0),(0,1),(2,1)，结合可行域可知 z = x y 的最大值为 2，最小值为-1，所以范围是 1,2 5D 【详解】因为 n a为等比数列, 1 1a , 1 a, 3 a的等差中项是5 则 13 10aa,由等比数列通项公式可得 2 11 10a qa 代入可得 2 110q,解得 3q 由等比数列通项公式可得 3 41 27aa q 6A 【详解】 2 ( )3fxxax，由题意得 2 (3)3330fa，则2a 所以 2 ( )23(3)(1)fxxxxx( )013fxx 所以函数 ( )f x的单调减区间是( 1,3) 7B 【详解】0a ，由基本不等式得 444 1213 a aaa aaa ， 当且仅当2a 时，等号成立，因此， 4a a a 的最小 值为3. 8A 【解析】试题分析：当时，,解得， 又因为，所以，那么由函数变换得到函数 ，解析式的变换是，根据左右的原 则，应向左平移 1 个长度单位，故选 A. 9C 【解析】详解： ：春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没被选中， 2 3 2 5 7 1. 10 C p C 10A 【详解】作PO 平面ABC于O,则3 3 AC OAOBOC .故高 2 2 336PO . 设内切球半径为r,则三棱锥 PABC 的体积 11 4 33 ABCABC SPOSr . 故 16 44 rPO .故内切球表面积 2 63 =4 42 S . 11B 【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为 3 3 ，且右焦点为(2,0)F， 从而得到30FON ，所以直线MN的倾斜角为60或120， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60， 可以得出直线MN的方程为3(2)yx， 分别与两条渐近线 3 3 yx 和 3 3 yx 联立， 求得 33 (3, 3),( ,) 22 MN ， 所以 22 33 (3)( 3)3 22 MN ，故选 B. 12A 【详解】解：设 2 xx g xe f xe， 则 2 xxx gxe f xe fxe 2 x ef xfx ， 2f xfx，0 x e ， 20 x gxef xfx ， g x是R上的增函数， 又 0022018gf， 2018g x 的解集为0,， 即不等式 22018 xx e f xe的解集为0,. 131 【解析】( )sin x f xex，( )sincos(sincos ) xxx fxexexexx， (0)1f ，曲线 ( )f x在点（0，0）处的切线方程为yx ，即0 xy。 1m 。 141010 【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出 122020 111212020S 1 234202021010， 输出的S为 1010 15 3 【详解】设双曲线的焦距为20c c ，如下图所示： 取MN的中点E，设 11 MFNFm ，由于 11 0MF NF ， 1 2 MF N ， 所以， 1 MNF为等腰直角三角形，且 1 22MNMFm ， E为MN的中点，所以， 12 EFEF， 由双曲线的定义得 21 22NFNFama ， 21 22MFMFama ， 又 22 22MFMNNFmma ， 222mmama ，可得 2 2ma ， 24MNma ， 1 1 2 2 EFMNa ， 22 222 2EFENNFamaa ， 在 12 Rt EFF中，由勾股定理得 222 1212 EFEFFF ，则有 222 484aac ，可得 3ca ，因此，该双曲线的离心率为3 c e a . 1622 3,6 【详解】由已知ababcb c，即 222 1 cos 2 bcabcA得 60A ， 由正弦定理 24 3 sinsinsinsin603 abc ABC ， 4 3sin 3 bB， 4 3sin 3 cC 三角形的周长为 444 3sin3sin23 sinsin2 33333 abcBBBB 43331 3sincos24sincos2 32222 BBBB 4sin2 6 B ， ABC是锐角三角形是锐角三角形， 0 2 B , 32 B , 62 B 3 sin1 26 B 周长的取值范围为22 3,6 . 17 （1）见解析（2） 1 1 42 2 33 n n 【详解】 （1）依题意，nN ， 1 12221 nnn aaa 1 120a ,所以，1 n a 是首项为 2、公比为 2 的等比数列. （2）由（1）得：12n n a ，21 n n a ， 242 nnn nn ba 数列 n b的前n项和为 111 1 442242 2 4 12 133 nnn n . 18 （）证明见解析； （） 2 3 3 . 【详解】 （）因为 BF平面 ACE，所以 BFAE. 因为平面 ABCD平面 ABE，BCAB， 平面 ABCD平面 ABEAB，所以 BC平面 ABE，从而 BCAE. 于是 AE平面 BCE. （）方法一：连结 BD 交 AC 与点 M，则点 M 是 BD 的中点， 所以点 D 与点 B 到平面 ACE 的距离相等. 因为 BF平面 ACE，所以 BF 为点 B 到平面 ACE 的距离. 因为 AE平面 BCE，所以 AEBE. 又 AEBE，所以AEB 是等腰直角三角形. 因为 AB2，所以 BE2sin45 2 . 在 RtCBE 中， 22 6CEBCBE . 所以 2 22 3 36 BCBE BF CE .故点 D 到平面 ACE 的距离是 2 3 3 . 19 （1） 3 5 （2） 3.616a ；该厂 10 月份销售量估计为 1.151 万辆. 【详解】 （1）设某企业购买的 6 辆新能源汽车，4 月份生产的 4 辆车为 1 C， 2 C， 3 C， 4 C； 5 月份生产的 2 辆车为 1 D， 2 D，6 辆汽车随机地分配给AB，两个部门. B部门 2 辆车可能为（ 1 C， 2 C） ， （ 1 C， 3 C） ， （ 1 C， 4 C） ， （ 1 C， 1 D） ， （ 1 C， 2 D） ， （ 2 C， 3 C） ， （ 2 C， 4 C） ， （ 2 C， 1 D） ， （ 2 C， 2 D） ， （ 3 C， 4 C） ， （ 3 C， 1 D） ， （ 3 C， 2 D） ， （ 4 C， 1 D， （ 4 C， 2 D） ， （ 1 D， 2 D）共 15 种情况； 其中，至多有 1 辆车是四月份生产的情况有： （ 1 C， 1 D） ， （ 1 C， 2 D） ， （ 2 C， 1 D） ， （ 2 C， 2 D） ， （ 3 C， 1 D） ， （ 3 C， 2 D） ， （ 4 C， 1 D） ， （ 4 C， 2 D） ， （ 1 D， 2 D）共 9 种， 所以该企业B部门 2 辆车中至多有 1 辆车被召回的概率为 93 155 P . （2）由题意得 6x ，2.137y . 因为线性回归方程过样本中心点 xy， ，所以 2.13760.2465a ，解得 3.616a . 当10 x 时，0.2465 103.6161.151y ， 即该厂 10 月份销售量估计为 1.151 万辆. 20 （1） 2 2 1 2 x y（2） 1 2, 2 【详解】解： （1）设椭圆C的半焦距为c. 因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C所得的弦长为 2，所以 2 2 2 b a ， 得 2 2 2 b a 因为椭圆C的离心率为 2 2 ，所以 2 2 c a 又 222 abc 由，解得2,1,1abc. 故椭圆C的标准方程是 2 2 1 2 x y. （2）当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为1x ，联立 2 2 1, 1, 2 x x y 解得 1, 2 2 x y 或 1, 2 . 2 x y 则点,M N的坐标分别为 2 1, 2 ， 2 1, 2 或 2 1, 2 ， 2 1, 2 . 所以 221 ( 1) ( 1) 222 OM ON ； 当直线l的斜率存在时, 设直线l的方程为 1122 (1),yk xM x yN xy. 联立 2 2 (1), 1, 2 yk x x y 消去y得 2222 124220kxk xk， 因为点( 1,0)在椭圆 2 2 :1 2 x Cy的内部， 所以直线l与椭圆C一定有两个不同的交点,M N. 则 22 1212 22 422 , 1212 kk xxx x kk . 所以 12121212 11OM ONx xy yx xk xk x 化简可得 222 1212 1OM ONkx xkxxk 则OM ON 22 222 22 224 1 1212 kk kkk kk 化简可得 2 15 224 OM ON k . 因为 2 242k ，所以 2 11 0 242k ， 所以 2 55 0 242k ，所以 2 55 0 242k . 所以 2 115 2 2224k ， 即 2 151 2 2242k ，所以 1 2, 2 OM ON . 综上，OM ON 的取值范围是 1 2, 2 . 21 （1）答案不唯一，见解析； （2）见解析 【详解】 （1） 2 x fxae， 当0a 时 0fx ， fx在 R 单调递减，则 fx无极值. 当0a 时，令 0fx 得 2 lnx a ， 0fx得 2 lnx a ， 0fx得 2 lnx a ， f x在 2 ,ln a 上单调递减， 2 ln, a 单调递增， f x的极小值为 22 ln22lnf aa ，无极大值， 综上：当0a 时， fx无极值. 当0a 时， fx的极小值为 22 ln22lnf aa ，无极大值； （2）当1a 时， ln2ln x f xxxex， 令 ln2 x g xex，转化证明 0g x 2 11 0+0 xx gxexgxe xx ，所以 gx在0,为增函数， 因为 1 11020 2 gege ， 所以 0 1 ( ,1) 2 x，使得 0gx 因此函数 g x在 0 0,x上单减函数，在 0, x 上单增函数， 所以 0 0000 00 11 ln2222=0 x g xg xexxx xx ， 0 1( )0 xg x 因此 ln22f xxx. 22 （1） 1 C的普通方程为2100 xy， 2 C的普通方程为 22 1 1612 xy （2）2 5 5 ，(2,3) 【详解】 （1）曲线 1 C的普通方程为2100 xy 曲线 2 C的极坐标方程为 2 3 4 3sin ，即 22 3sin48