新新教案系列高中数学1.2空间几何体的三视图和直观图教案pdf新人教A必修2

新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 已知圆锥的底面半径为， 母线长为， 用一平行于底 面的平面去截圆锥， 截得圆台的母线长为， 则截面半 径是 解 析 作出轴截面， 利用三角形相似得 ， 答案： 给出下列命题： 以直角三角形的一条边为轴， 其余两边旋转形成的 曲面围成的几何体是圆锥； 以等腰三角形底边上的中线为轴， 将三角形旋转形 成的曲面所围成的几何体是圆锥； 经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； 圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆的直径 其中正确命题的序号是 解 析错，对，对，错 答案： 图 一个圆锥的高为， 母线与轴的夹角 为 ， 求圆锥的母线长以及圆锥的 轴截面的面积（ 如图 ） 解： 母线长 槡 ， 底面半径 槡 ， 所以 槡 槡 ， 即圆锥的轴截面的面积是 槡 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍， 轴截 面的面积等于 ， 母线与轴的夹角是 ， 求这 个圆台的高、 母线长和两底面半径 图 解： 圆台的轴截面如图 所 示， 设圆台上、 下底面半径分别为 （ ） ，（ ） ， 延 长 交 的延长线于， 在 中， ， 则 ， 所以 ， 所以 又轴截面 （） ， 所以 所以圆 台 的 高 ， 母 线 长槡 槡 ， 两底面半径分别为 ， 空 空间间几几何何体体的的三三视视图图和和直直观观图图 中心投影、 平行投影与空间几何体的三视图 课标解读 课标要求学习目标 了解中心投影与平行投影 能画出简单空间几何体（ 柱 体、 锥体、 台体、 球及简单组合 体） 的三视图 能识别柱、 锥、 台、 球的三视 图所表示的立体模型 了解中心投影与平行投影 的概念 学会画简单几何体的空间 图形（ 长方体、 圆柱、 圆锥、 球、 棱柱及它们的简单的组合体） 的三视图 能识别柱、 锥、 台、 球的三视 图所表示的立体模型 教学策略 重点难点 本节教学的重点是简单几何体的空间图形的三视图的画 法； 教学难点是让学生学会识别三视图所表示的空间几何体 教学建议 结合具体的实例和直接生活经验， 讲解中心投影与平 行投影 要引导学生不但能画出简单的空间几何体（ 长方体、 球、 圆柱、 圆锥等） 和简单组合体的三视图， 而且还能由空间 几何体的三视图想象出立体模型 三视图的教学， 主要是引导学生通过自己动手实践来 完成作图 空间几何体的三视图在教科书中给出一些要求： 一个 几何体的侧视图和正视图的高度一样， 俯视图和正视图长度 一样， 侧视图与俯视图宽度一样； 侧视图在正视图的右边， 俯 视图在正视图的下边等在画三视图时， 上述要求可以不作 严格规定， 但对于能看见的轮廓线和棱用实线表示， 不能看 见的轮廓线和棱用虚线表示， 必须严格遵守 情境创设 “ 横看成岭侧成峰， 远近高低各不同 不识庐山真面目， 只缘身在此山中” 大诗人苏轼的这首诗 题西林壁 ， 让多少文学家感叹其优 美的意境， 而令数学家感叹的是诗中蕴涵着丰富的视图知识 “ 一口叙说千古事， 双手对舞百万兵” 的皮影戏是深受 群众喜爱的一种民间艺术， 它最早流传于鲁南、 苏北、 浙江、 河北一带， 后来逐渐扩散到全国各地皮影戏的表演是借助 空间几何体第一章 教 学 札记 一面影窗， 利用灯光照射原理和平面映象来表现， 将纸偶或 皮偶影射出来， 配合音乐、 唱白来表演戏剧故事你能明白 “ 两手插起千秋将， 孤灯照出万古人” 的原理吗？ 合作探究 探究一 中心投影与平行投影 我们知道， 光是沿直线传播的， 而且由于光的照射， 在不透 明的物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子， 我们称这种现 象为投影， 其中光线叫做投影线， 留有影子的屏幕叫做投影面 投影中心 投影线 投影 投影面 图 看一看： 光从一点向外发出会 对物体的投影产生怎样的影响？ 我们把光由一点向外散射形 成的投影， 称为中心投影中心投 影的 投 影 线 交 于 一 点观 察 图 可知， 如果一个平面图形所 在的平面与投影面平行， 中心投影后得到的图形相当于把原 图形整体放大了中心投影后得到的图形的大小与原图 形距离光源的远近有关系， 一般当原图形距离光源越近 距离投影面越远， 其投影图形越大， 当原图形距离光源越 远距离投影面越近， 其投影图形越小， 逐渐接近原图形 看一看： 观察图， 一束平行光的照射会对物体 的投影产生怎样的影响？ 正投影 斜投影 图 我们把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投 影观察图可知， 平行投影的投影线都是平行的在平 行投影中投影线正对着投影面时， 叫做正投影， 否则称为斜 投影正投影也称为射影平行投影中， 两平行直线的投影一 般仍平行（ 投影重合是特例） 想一想： 直线的平行投影是什么图形？ （） 当直线平行于投影线时， 直线的投影为点； （） 当直线与投影线不平行时， 直线的投影仍是直线 提升总结： 中心投影与平行投影的性质： （） 中心投影得到的图形大小与原图形距离光源的远近 有关当原 图 形 距 离 光 源 越 近， 则 其 投 影 图 形 越 大， 反 之 越小 （） 中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多， 但 更接近于实际效果图， 如人的视觉、 照片、 美术作品等都具有 中心投影的特点 （） 平行投影具有真实性、 平行性、 从属性等性质 （） 平行投影和中心投影都是空间图形的基本画法， 平 行投影包括下面我们将要学到的三视图和斜二测画法； 中心 投影在绘画时经常用到画立体几何图形一般采用平行投影 法， 画实际效果图一般采用中心投影法 例 一 图 形 的 投 影 是 一 条 线 段， 这 个 图 形 不 可 能 是（ ） （ 注： 多项选择） 线段 直线 圆 梯形 长方体 解 析 直线是无限长的， 它的投影是一条直线或一个 点； 长方体的投影如果是一条线段， 那么这个长方体的所有 顶点应在同一个平面内， 而这显然不可能， 其他三个图形的 投影都可以是一条线段 答案：、 跟踪练习 一个正方形利用平行投影后得到的图形是（ ） 正方形 正方形或矩形 正方形、 矩形或线段 以上都不对 解 析 根据平行投影的定义知正方形的投影图形可以 是正方形、 矩形或线段 答案： 探究二 空间几何体的三视图 把一个空间几何体投影到一个平面上， 可以获得一个平 面图形， 但是只有一个平面图形是很难把握几何体的全貌 的在初中， 我们已经学习了正方体、 长方体、 圆柱、 圆锥、 球 的三视图（ 正视图、 侧视图、 俯视图） ， 例如长方体的三视图都 为矩形， 球的三视图都为圆， 显然需要多角度把握空间几何 体的形状， 才能确定几何体的形状和大小 看一看： 观察图（） 中礼品盒的角度不同， 会得到 怎样的视图？ 如图（） 所示， 我们通常选择三种角度的正投影 得到同一物体的不同视图 正面 左面 上面 （ ） 正视图侧视图 俯视图 （ ） 图 （） 光线从几何体的前面向后面正投影， 得到的投影图， 叫做几何体的正视图 （） 光线从几何体的左面向右面正投影， 得到的投影图， 叫做几何体的侧视图 （） 光线从几何体的上面向下面正投影， 得到的投影图， 叫做几何体的俯视图 几何体的正视图、 侧视图和俯视图统称为几何体的三视 图有时我们把正视图叫做主视图， 侧视图叫做左视图 想一想： 三视图反映物体哪些几何特征？画三视图又应 该注意怎样的规则？ （） 每个视图都反映物体两个方向上的尺寸正视图反 映物体的上下和左右尺寸， 俯视图反映物体的前后和左右尺 寸， 侧视图反映物体的前后和上下尺寸 （） 如果把物体左右方向上的尺寸称为长， 前后方向上 的尺寸称为宽， 上下方向上的尺寸称为高， 则正视图和俯视 图都反映了物体的长度， 正视图和侧视图都反映了物体的高 度， 俯视图和侧视图都反映了物体的宽度因而， 三视图之间 存在下述关系： 正视图与俯视图长对正； 正视图与侧视图高 平齐； 俯视图与侧视图宽相等 （） 一个物体的三视图的排列规律是： 俯视图放在正视 图的下面， 侧视图放在正视图的右边 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 （） 画三视图时应注意： 被挡住的轮廓线要画成虚线 探究三 简单几何体的三视图的特征 画一画常见简单几何体的三视图 几何体正视图侧视图俯视图 正方体 长方体 三棱台 三棱锥 圆柱 圆锥 圆台 球 答案： 几何体正视图侧视图俯视图 正方体 长方体 三棱台 续表 几何体正视图侧视图俯视图 三棱锥 圆柱 圆锥 圆台 球 简单组合体的三视图画法要点： （） 画组合体的三视图时， 一定要注意组合体由哪些简单几 何体组成， 注意它们的组合方式， 特别要注意它们的交线位置 （） 要确定好正视、 侧视的方向， 同一个物体的三视的方 向不同， 所画的三视图可能不同 （） 若相邻两物体的表面相交， 表面的交线是它们的分 界线， 在三视图中， 分界线和可见轮廓线都用实线画出， 不可 见的用虚线画出 例 如图所示的四棱锥的底面是正方形， 顶点 在底面上的射影是底面正方形的中心， 试画出其四棱锥的三 视图 图 正视图侧视图 俯视图 高平齐 宽相等 长对正 图 分 析 图是正四棱锥， 注意正四棱锥的性质 解： 正四棱锥的三视图如图所示 点 拨 （） 在画三视图时， 务必做到正视图、 侧视图高平 獉獉 齐 獉 ， 正视图、 俯视图长对正 獉獉獉 ， 俯视图、 侧视图宽相等 獉獉獉 ； （） 习惯 上将正视图与侧视图画在同一水平位置上， 俯视图在正视图 的正下方 空间几何体第一章 教 学 札记 例 下列说法中正确的有（ ） 从投影角度看， 三视图是平行投影下画出的； 平行投影的投影线互相平行， 中心投影的投影线交于 一点； 空间图形经过中心投影后， 平行线有可能变成相交的； 空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现 形式 个 个 个 个 解 析 上述种说法都是正确的 答案： 跟踪练习 一个圆柱三视图中一定没有的图形为（ ） 正方形长方形三角形圆 解 析 圆柱的正视图、 侧视图、 俯视图可以出现正方形、 长方形、 圆 答案： 备选例题 例 画出如图所示棱柱的三视图 图 正视图侧视图 俯视图 图 三视图如图所示 点 拨 画三视图注意“ 长对正， 高平齐， 宽相等” 的原则 正 主 视图侧 左 视图 （ ）（ ） 图 例 （ 北 京） 一个长方体去掉一个小长 方体， 所得几何体的正（ 主） 视图与侧（ 左） 视图分别如 图所示， 则该几何体的俯视 图为（ ） 图 解 析 由三视图中的正（ 主） 、 侧（ 左） 视图 得到几何体的直观图如图所示， 所以该 几何体的俯视图为 答案： 例 画出图 的三视图 （ ）（ ） 图 解： 图（） 的三视图如图 正视图侧视图 俯视图 高平齐 宽相等 长对正 图 图（） 的三视图如图 正视图 侧视图 俯视图 高平齐 宽相等 长对正 图 点 拨 画组合体的三视图也要遵循“ 长对正， 高平齐， 宽 相等” 的原则 反思感悟 平行投影和中心投影都是空间图形的基本画法， 画立 体几何图形时一般采用平行投影法， 画实际效果图时一般采 用中心投影法， 有时也根据实际情况选择不同的画法 画三视图的两个要点： （） 长对正（ 正视图与俯视图） 、 高平齐（ 正视图与侧视图） 、 宽相等（ 俯视图与侧视图） ； （） 三 视图的排列规则是： 俯视图放在正视图的下面， 侧视图放在 正视图的右边 画组合体的三视图时， 一定要注意组合体是由哪些简 单几何体组成， 并注意组合方式， 若相邻两物体的表面相交， 表面的交线是它们的分界线， 在三视图中， 分界线和可见的 轮廓线都用实线画出， 不可见的轮廓线用虚线画出 只要熟悉简单几何体的三视图形成， 由简单几何体的 三视图还原几何体并不困难对于组合体， 需要综合正视图、 侧视图、 俯视图的特征， 确定分界线， 找出组成组合体的简单 几何体， 再将组合体还原， 其中确定分界线是正确还原的 关键 课后作业 如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形， 那么 这个几何体可能是（ ） 长方体圆柱或正方体 长方体或圆台长方体或圆柱 解 析 考虑几何体的摆放位置和轴截面因素， 正视图和 侧视图都是长方形， 长方体或圆柱满足 答案： 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 两条相交直线的平行投影是（ ） 两条相交直线一条直线 一条折线两条相交直线或一条直线 解 析 根据平行投影的定义判断选 答案： 如图 所示， 甲、 乙、 丙、 丁四人分别面对面地坐在一 张正方形的桌子旁边， 桌上一张纸写着数字“ ” ， 甲说他看 到的是“ ” ， 乙说他看到的是“ ” ， 丙说他看到的是“ ” ， 丁 说他看到的是“ ” ， 则下列说法正确的是（ ） 甲在丁的对面， 乙在甲的左边， 丙在丁的右边 丙在丁的对面， 丙的左边是甲， 右边是乙 甲在乙的对面， 甲的右边是丙， 左边是丁 甲在丁的对面， 乙在甲在右边， 丙在丁的右边 图 甲 乙丙 丁 图 解 析 依据题意画出图形如图 所示，项符合 答案： 如图 ， 下列几何体各自的三视图中， 有且仅有 两个视图相同的是（ ） （） （）（） （）（） （）（） （） 正方体圆锥三棱台正四棱锥 （ ）（ ）（ ）（ ） 图 答案： 图 （ 广东） 如 图 ， 为正三角形， ， 平面 且 ， 则多面体 的正视 图（ 也称主视图） 是（ ） 解 析 由 及 平面 ， 知 平面 又 ， 且 为正三角形， 故 正视图应为中的图形 答案： （ 课标全国） 正视图为一个三角形的几何体可以 是 （ 写出三种） 解 析 由于正视图为三角形， 只需构造一个简单几何 体， 使得从正面看正好是三角形即可， 例如圆锥、 三棱 锥、 三棱柱、 正四棱锥或有一侧棱垂直于底面， 底面为 矩形的四棱锥等， 答案不唯一 答案： 圆锥、 三棱锥、 正四棱锥（ 答案不唯一） 球的三视图都是 ； 长方体的三视图都是 ； 竖直放置的圆锥的正视图、 侧视图都是 ， 俯视图是 ； 竖直放置的圆柱的正视图、 侧视图都是 ， 俯视图是 答案： 圆 矩形 等腰三角形 有圆心的圆 矩形 圆 由若干个小正方体组成的几何图形的三视图如图 所示， 则组成这个组合体的小正方体的个数是 正视图侧视图 俯视图 图 图 解 析 由 三 视 图 我 们 可 以 得 出 该 几 何 体 的 结 构 如 图 所示， 构成该几何图形的小正方体个数是 答案： 画出图 中所示纺锤的三视图 图 分 析 图示纺锤可以看作两个圆锥体的组合， 画三视 图时， 应该先画出正视图， 然后在正视图的下面画俯视 图， 在正视图的右面画出侧视图 解： 纺锤的三视图如图 正视图侧视图 俯视图 图 如图 所示， 是由几个立方体组成的几何体的 俯视图， 小正方形中的数字表示在该位置的小立方体 的个数， 画出这个几何体的正视图和侧视图 图 解： 如图 所示 图 空间几何体第一章 教 学 札记 空间几何体的直观图 课标解读 课标要求学习目标 根据空间几何体的三视图 识别空间几何体 用斜二测画法画水平放置 的平面图形的直观图 用斜二测画法画常见的柱、 锥、 台以及简单组合体的直观图 初步学会根据空间几何体 的三视图画出空间几何体的 直观图 学会用斜二测画法画水平 放置的平面图形的直观图 学会用斜二测画法画常见 的柱、 锥、 台以及简单组合体 的直观图 教学策略 重点难点 本节教学的重点是用斜二测画法画空间几何体的直观 图， 难点是根据空间图形及空间几何体的直观图还原出空间 图形及空间几何体 教学建议 本节在投影知识的基础上， 讲解空间几何体的直观图 在立体几何的教学中， 空间几何体的直观图是在平行 投影下把空间图形展现在平面上， 用平面上的图形表示空间 几何体 “ 空间几何体的直观图” 只介绍斜二测画法， 斜二测画 法是一种特殊的平行投影画法， 用斜二测画法画直观图， 关 键是掌握水平位置的平面图形的画法， 这是画空间几何直观 图的基础 结合具体实例讲解归纳斜二测画法画水平放置的平 面图形的画法和步骤 空间几何体的三视图与直观图有密切的联系， 注意结 合三视图来加深认识直观图 情境创设 前面我们学习了三视图， 可以精确地描述一个空间几 何体， 那么， 我们如何在平面上富有立体感地表示一个空间 几何体呢？怎样画出现实生活中相应几何体的直观图呢？ 美术与数学， 一个属于艺术， 一个属于科学， 看似毫无 关系， 但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系， 仔细 分析对比不难发现， 黄金分割、 透视等无不体现着艺术与数 学的完美结合， 那么， 如何才能在平面上将空间图形画得既 富有立体 感， 又能表达各主要部 分 的 位 置 关 系 和 度 量 关 系呢？ 合作探究 探究一 平面图形直观图的画法 看一看： 如图 所示， 它们分别是三棱柱、 圆锥、 圆 柱和四棱锥的直观图把空间图形画在平面内， 使得既富有 立体感， 又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系， 这 就是直观图 图 想一想： 如何才能得到上述几何体的直观图？ 我们先从平面图形的画法入手 画水平放置的等腰梯形的 的直观图 画法： （） 如图 （） ， 在等腰梯形 中， 以 所在直线为轴， 的中点为坐标原点建立直角坐标系 ， 并画出对应的坐标系 ， 并使 （） 以 为中点在 轴上取 ， 在 轴上取 ， 以 为中点， 过 作 平行于 轴， 并使 ， 连接 ， ， 所得梯形 即为 水平放置的直观图， 如图 （） 所示 （ ） （ ） 图 关于直观图的画法， 我们只学习斜二测画法， 斜二测画 法是一种特殊的平行投影画法 提升总结： 平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图， 其具体 步骤可归纳为： （） 画轴即在已知图形中取互相垂直的轴和轴， 两 轴相交于， 画直观图时， 画出对应的 轴和 轴， 两轴相 交于点 ， 且使 （ 或 ） ， 它们确定的平面表 示水平面 （） 平移将已知图形中平行于轴或轴的线段， 在直 观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段 （） 取长度在已知平面图形中平行于轴的线段， 在直 观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段， 长度变为原来 的一半 温馨提示： （） “ 斜” ： 互相垂直的， 轴画成 ， 轴， 使 （ 或 ） （） “ 二测” ： 横不变， 纵折半 跟踪练习 下面说法正确的是（ ） 水平放置的正方形的直观图可能是梯形 两条相交直线的直观图可能是平行直线 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 平行四边形的直观图仍是平行四边形 解 析 对于选项， 不符合直观图的平行性不变， 即正方 形的直观图是一个平行四边形； 选项， 直观图的点、 线位置 关系不变， 两直线的交点在直观图中仍然是两直线的公共 点； 选项， 垂直关系在直观图中一般不再是垂直关系 答案： 利用斜 二 测 画 法 画 正 方 形 的 直 观 图， 其 中 正 确 的 是（ ） 解 析 （） 锐角 ， 排除，； （） 短边是长边的 ， 排 除掉 答案： 探究二 空间几何体的直观图的画法 图 看一看： 图 是一种特殊的棱 锥， 底面为正六边形且顶点在底面上的 射影恰好是底面正六边形的中心， 这种 棱锥称为正六棱锥 想一想： 我们如何利用斜二测画法 画出正六棱锥 的直观图？ 画法： （） 画出六棱锥 的底面 在正六边形 中， 取所在的直线为 轴， 对称轴所在的直线为轴， 两轴相交于（ 如图 （） 所示） ， 画相应的 轴、 轴和 轴， 三轴相交于 ， 使 ， （ 如图 （） 所示） ； 在图 （） 中， 以 为中点， 在 轴上取 ， 在 轴上取 以 点为中点画 平行于 轴， 并且等于 ； 再以 为中点画 平行于 轴， 并 且等于 连接 、 、 、 ， 得到正六边形 水平放置的直观图 （） 画正六棱锥 的顶点， 在 轴上截取 ， 使 （） 成图连接 、 、 、 、 、 ， 并擦 去 轴、 轴和 轴， 把被遮挡部分改成虚线， 便得到正六棱 锥 的直观图 （ 如图 （） 所示） （ ） （ ） （ ） 图 提升总结： 用斜二测画法画空间几何体的步骤： （） 在已知图形中， 取互相垂直的轴和轴， 再取 轴， 使 ， 且 ； （） 画 直 观 图 时， 把 它 们 画 成 对 应 的 轴 、 、 ， 使 （ 或 ） ， ， 所确定的平 面表示水平平面 （） 已知图形中平行于轴、 轴或轴的线段， 在直观 图中分别画成平行于 轴、 轴或 轴的线段 （） 在已知平面图形中平行于轴和轴的线段， 在直 观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段， 长度变为原来 的一半 （） 擦去作为辅助线的坐标轴， 把被遮挡的部分改成虚 线就得到了空间几何体的直观图 温馨提示： （） 斜二测画法中的“ 斜” 是指原来互相垂直 的轴、 轴变成了夹角为 倾斜的 轴、 轴， 这是为了 体现出立体感； “ 二测” 是指横（ 平行） 不变， 纵（ 竖） 折半， 是为 了增强立体的效果 （） 斜二测画法保留了原图形中的三个性质：平行性 不变， 即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；共点性 不变， 即在原图中相交的直线仍然相交；平行于轴的长 度不变 （） 画图时一般只要求会看图和画出图形， 不要求写出 作图过程 跟踪练习 用斜二测画法画正五棱柱（ 底面为正五边形， 侧面为 矩形的直棱柱） 的直观图 分 析 与轴、 轴平行的线段长度不变， 与轴平行的 线段长度变为原来的一半 解： （） 如图 （） ， 画轴画 轴、 轴和 轴， 使 或 ， （） 画底面按 轴、 轴画正五边形的直观图 （） 画侧棱过点、分别作 轴的平行线， 并 在这些平行线上分别截取 、 、 、 、 都等于 正五棱柱的侧棱长 （） 成图顺次连接 、 、 、 、 ， 加以整理， 去掉坐 标轴， 并改被遮挡部分为虚线如图 （） 所示 （ ） （ ） 图 探究三 由直观图画平面图 图 看一看：如图 所示， 有一对 对角为 的菱形 ， 它是某一 个平面图的直观图 想一想： 我们能画出它的平面图吗？ 如何画出来？ 如图 （） 所示， 先建立坐标系 ， 再建立一 个直角坐标系 ， 如图 （） 所示 在轴上截取线段 ， 使 ， 在轴上截取线 空间几何体第一章 教 学 札记 段， 使 过点作 ， 过点作 ， 使 、 交 于点， 则四边形 就是菱形 的实际平面图， 如图 （） 所示 （ ） （ ）（ ） 图 提升总结： 由直观图到平面图的画法： 由直观图到平面图形， 实际上就是画直观图的逆过程， 在这个过程中它主要是： 平行于 轴的线段， 画出时长度不 变； 平行于 轴的线段， 画出时长度变为原来的倍 跟踪练习 图 图 是水平放置的 的 直观图 ， 轴， 则 是（ ） 等边三角形 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 解 析轴与轴垂直， 所以 轴， 即 ， 为直角三角形 答案： 图 水平放置的 的斜二测直观 图如图 所示， 已知 ， ， 则 边 上 的 中 线 的 实 际 长 度 为 解 析 由于直观图中 ， 则在原图形中 ， ， ， 斜边 ， 所以斜边上的中线长为 答案： 备选例题 例 根据三视图（ 如图 ） ， 画出物体的直观图 正视图侧视图 俯视图 图 图 解： （） 画 轴建 立 空 间 直 角 坐 标 系， 使 ， 如图 （） 画圆柱的两底面和圆台上底面， 画出底面圆在 轴上截取 ， 使 等于三视图中 的高度过 作 的平行线 ， 的平行线 ， 利用 与 画出底 面圆 （ 与画圆一样）同圆 作出圆 （） 成图连接 、 、 、 ， 整理得到三视图 所表示的立体图形的直观图 点 拨 由几何体的三视图知道几何体是一个简单的组 合体， 下部分是个圆柱， 上部分是个圆台且圆台下底面与圆 柱上底面重合 例 在水平放置的平面内有一边长为的正方形 ， 如图 ， 其中对角线 在水平位置已知 该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图， 试画出 该四边形的真实图形并求出其面积 图 图 解： 四边形 的真实图形如图 所示 在水平位置， 为正方形， 在四边形 中， ， 槡， 四边形 槡 点 拨 长度的变化规律要记清， 不可出现错误， 导致运 算出错 反思感悟 画水平放置的平面图形的直观图的步骤为： 画轴（ 让 尽量多的点在坐标轴上） ； 取点； 成图在图形中， 平行于轴 的线段， 在直观图中保持其长度不变， 平行于轴的线段， 在 直观图中长度减半， 规则可简记为横不变纵减半， 还原图形的过程， 是画直观图的逆过程， 它主要包括 平行于轴的线段长度不变， 平行于轴的线段长度变为原 来的倍 画立体图形的直观图， 在画轴时， 要多画一条与 平面垂直的轴 ， 且平行于 的线段， 在直观图中的长 度不变， 其他与平面图形直观图的画法一致 对图中与坐标轴不平行的线段可通过确定端点的办 法来解决； 过线段的端点作坐标轴的平行线段， 确定平行线 段的端点在直观图中的位置， 有了端点在直观图中的位置， 一切问题便迎刃而解 对于一些常见几何体（ 柱、 锥、 台、 球） 的直观图， 应该 记住它们的大致形状， 以便可以较快且准确地画出 课后作业 如 图 中 的 斜 二 测 直 观 图 所 示 的 平 面 图 形 是（ ） 图 直角梯形 等腰梯形 不可能是梯形 平行四边形 解 析 根据直观图可判断原图形 ， ， 故选 答案： 如图 ， 一个水平放置的平面图形的斜二测直观 图是一个底角为 ， 腰和上底长均为的等腰梯形， 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 则这个平面图形的面积是（ ） 槡 槡 槡槡 图 图 解 析 作 交 于 ， 由斜二测直观图画 法规则， 等腰梯形 的直观图为图 所 示的直角梯形 ， 且 ， 槡 ， 所以 槡 答案： 图 图 为水平放置的三角形的 直观图，是 中 边的中 点， 且 ， 那么 、 三条线段中（ ） 最长的是 ， 最短的是 最长的是 ， 最短的是 最长的是 ， 最短的是 最长的是， 最短的是 解 析 由已知 轴， 根据斜二测画法规则， 则在 原图中应有 又为 边上的中线， 所以 为等腰三角形，为 边上的高， 则有 、 相等且最长，最短， 比较选项可知正确 答案： 利用斜二测画法得到： 三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图 是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的 直观图是菱形 以上结论中正确的是（ ） 解 析 由斜二测画法知平行于轴的线段长度不变， 平行于轴的线段长度减半， 平行线在直观图中的平 行性不变， 因此三角形的直观图仍是三角形， 平行四边 形的直观图仍是平行四边形由于正方形、 菱形中不平 行于轴的边在直观图中长度要改变， 因此直观图不 可能仍是正方形和菱形 答案： 若一个三角形， 采用斜二测画法作出的直观图的面积 为 ， 原三角形的面积为， 则有（ ） 槡 槡 图 图 解 析如图 和 设 的面积为， 其直观图 的面积为 ，为 的高， 为 的高 则 槡 槡 槡 故应选 答案： 根据斜二测画法的规则画直观图时， 把 、 、 画 成对应的 、 、 ， 使 ， 解 析 根据斜二测画法规则 ， 答案： 一个水平放置的正方形的面积是， 按斜二测画法所 得 的 直 观 图 是 一 个 四 边 形，这 个 四 边 形 的 面 积 是 解 析 根据斜二测画法画出正方形的直观图， 直观图 的面积是原平面图形面积的槡 答案： 槡 如图 所示， 四边形 是上底为， 下底为 ， 底角为 的等腰梯形， 由斜二测画法， 画出这个梯 形的 直 观 图 ， 在 直 观 图 中 的 梯 形 的 高 为 图 图 解 析 按斜二测画法， 得梯形的直观图 ， 如图 所示， 作 垂直 轴于 ， 则 即为直观 图中梯形的高， 原图形中梯形的高 ， 在直观图 中 ， 且 ， 那么 槡 答案： 槡 画出棱长为 的正方体的直观图 解： （） 如图 ， 作水平位置的正方形的直观图 ， 使 ， ， （） 图 （） 以为坐标原点， 作空间直 角坐标系， 即作 轴使 ， 分别过点、， 沿 轴的 正 方 向 取 （） 连接 、 、 、 ， 得到的图形就是要画的正方体 的直观图 根据三视图（ 如图 ） ， 想象物体原型， 并画出物 体的直观图（ 尺寸不作严格要求） 正视图侧视图 俯视图 图 图 空间几何体第一章 教 学 札记 解： 物体的直观图如图 所示 这是一个组合体的三视图， 可以分解为简单几何体， 上方为一个正方体， 下方为一个棱台， 注意俯视图中 的虚线体现在直观图上是棱台在正方体的下方 空 空间间几几何何体体的的表表面面积积与与体体积积 柱体、 锥体、 台体的表面积 课标解读 课标要求学习目标 了解柱、 锥、 台的表面积的 计算公式 能利用柱、 锥、 台的表面