江苏启东数学大一轮讲义三三角函数与平面向量第3讲三角函数与平面向量pdf

59 专题三 三角函数与平面向量 专题三 三角函数与平面向量 第第 3 讲 平面向量讲 平面向量 总序总序 8 考情解读 (1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考 查(2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处 理问题的能力 热点一 平面向量的概念及线性运算 例 1 (1)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是_ e1(0,0)，e2(1,2)；e1(1,2)，e2(5，2)； e1(3,5)，e2(6,10)e1(2，3)，e2(2,3) (2)如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于 圆 O 外的点 D，若OC mOA nOB ，则 mn 的取值范围是_ 思维启迪 (1)即看哪个向量组可以作为基底(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此 结论与OC mOA nOB 对应 答案 (1) (2)(1,0) 解析 (1)由题意知，中 e10，选项中两向量均共线， 都不符合基底条件，故选(事实上，a(3,2)2e1e2) (2)依题意，由点 D 是圆 O 外一点，可设BD BA (1)，则OD OB BA OA (1)OB . 又 C，O，D 三点共线，令OD OC (1)，则OC OA 1 OB (1，1)， 所以 m ，n 1 . 故 mn 1 1 (1,0) 思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆如向 量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时，要抓住 两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现 (1)设 0 2，向量 a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若 ab，则 tan _. (2)如图，在ABC 中，AF1 3AB，D 为 BC 的中点，AD 与 CF 交于点 E.若AB a， AC b，且CE xayb，则 xy_. 答案 (1)1 2 (2) 1 2 解析 (1)因为 ab，所以 sin 2cos 2，2sin cos cos2. 60 因为 00，得 2sin cos ，tan 1 2. (2)如图，设 FB 的中点为 M，连结 MD.因为 D 为 BC 的中点，M 为 FB 的中点，所以 MDCF. 因为 AF1 3AB，所以 F 为 AM 的中点，E 为 AD 的中点 方法一 因为AB a，ACb，D 为 BC 的中点，所以AD 1 2(ab) 所以AE 1 2AD 1 4(ab)所以CE CAAEACAEb1 4(ab) 1 4a 3 4b. 所以 x1 4，y 3 4，所以 xy 1 2. 方法二 易得 EF1 2MD，MD 1 2CF，所以 EF 1 4CF，所以 CE 3 4CF. 因为CF CAAFACAFb1 3a，所以CE 3 4(b 1 3a) 1 4a 3 4b. 所以 x1 4，y 3 4，则 xy 1 2. 热点二 平面向量的数量积 例 2 (1)如图，BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF 2FO ， 则FD FE _. (2)在平面上，AB1 AB2 ，|OB1 |OB2 |1，AP AB 1 AB2 .若|OP |1 2， 则|OA |的取值范围是_ 思维启迪 (1)图 O 的半径为 1，可对题中向量进行转化FD FO OD ，FE FO OE ； (2)利用|OP |1 2，寻找OP ，OA 的关系 答案 (1)8 9 (2) 7 2 ， 2 解析 (1)BF 2FO ，圆 O 的半径为 1，|FO |1 3， FD FE (FO OD ) (FO OE )FO 2FO (OE OD )OD OE (1 3) 2018 9. (2)AB1 AB2 ，AB1 AB2 (OB1 OA ) (OB2 OA )OB1 OB2 OB1 OA OA OB2 OA 20， OB1 OB2 OB1 OA OA OB2 OA 2. AP AB 1 AB2 .OP OA OB1 OA OB2 OA ，OP OB1 OB2 OA . |OB1 |OB2 |1，OP 211OA22(OB 1 OB2 OB1 OA OB2 OA )2OA 22(OA2)2OA2， |OP |1 2，0|OP |21 4，02OA 21 4， 7 4OA 22，即|OA | 7 2 ， 2 . 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算 61 (1) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5， CP 3PD ，AP BP2，则AB AD 的值是_ (2)已知点 G 是ABC 的重心，若A120 ，AB AC2， 则|AG |的最小值是_ 答案 (1)22 (2)2 3 解析 (1)由CP 3PD，得DP 1 4DC 1 4AB ，APAD DP AD 1 4AB ，BPAPABAD 1 4AB ABAD 3 4AB .因为AP BP2， 所以(AD 1 4AB ) (AD 3 4AB )2，即AD21 2AD AB 3 16AB 22. 又因为AD 225，AB264，所以AB AD 22. (2)在ABC 中，延长 AG 交 BC 于 D，点 G 是ABC 的重心， AD 是 BC 边上的中线，且 AG2 3AD，AB AC|AB| |AC| cos 120 2， |AB | |AC|4，AG 2 3AD ，2AD AB AC，AG 1 3(AB AC)， AG 21 3(AB AC)21 9AB 22AB ACAC21 92|AB | |AC|2 (2)4 9， AG 24 9，|AG |2 3，|AG |的最小值是2 3. 热点三 平面向量与三角函数的综合 例 3 已知向量 a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中 0x. (1)若 4，求函数 f(x)b c 的最小值及相应 x 的值； (2)若 a 与 b 的夹角为 3，且 ac，求 tan 2 的值 思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函 数式，由此可解得函数的最小值及对应的 x 值 (2)由夹角公式及 ac 可得关于角 的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果 解 (1)b(cos x，sin x)， c(sin x2sin ，cos x2cos )， 4， f(x)b ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x 2(sin xcos x) 令 tsin xcos x 4x ，则 2sin xcos xt 21，且1t 2. 则 yt2 2t1 t 2 2 23 2，1t 2，t 2 2 时，ymin3 2，此时 sin xcos x 2 2 ， 即 2sin x 4 2 2 ， 4x， 2x 4 5 4，x 4 7 6，x 11 12 . 函数 f(x)的最小值为3 2，相应 x 的值为 11 12 . 62 (2)a 与 b 的夹角为 3，cos 3 a b |a| |b|cos cos xsin sin xcos(x) 0x，0x，x 3.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0， sin(x)2sin 20，即 sin 2 3 2sin 20.5 2sin 2 3 2 cos 20，tan 2 3 5 . 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利 用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面 可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向 量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题 已知向量 a sin x，3 4 ，b(cos x，1) (1)当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值； (2)设函数 f(x)2(ab) b，已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a 3，b2，sin B 6 3 ，求 f(x)4cos(2A 6)(x0， 3)的取值范围 解 (1)ab，3 4cos xsin x0，tan x 3 4.cos 2xsin 2xcos 2x2sin xcos x sin2xcos2x 12tan x 1tan2x 8 5. (2)f(x)2(ab) b 2sin 2x 4 3 2，由正弦定理 a sin A b sin B，可得 sin A 2 2 ，A 4. f(x)4cos 2A 6 2sin 2x 4 1 2，x0， 3，2x 4 4， 11 12 3 2 1f(x)4cos(2A 6) 2 1 2.故所求范围为 3 2 1， 21 2 真题感悟 1(2014 湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1,0)，B(0， 3)，C(3,0)，动点 D 满足|CD |1， 则|OA OB OD |的最大值是_ 答案 71 解析 设 D(x，y)，由CD (x3，y)及|CD |1 知(x3)2y21， 即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆 又 OA OB OD (1,0)(0， 3)(x，y)(x1，y 3)， |OA OB OD |(x1)2(y 3)2. 问题转化为圆(x3)2y21 上的点与点 P(1， 3)间距离的最大值 圆心 C(3,0)与点 P(1， 3)之间的距离为(31)2(0 3)2 7， 故(x1)2(y 3)2的最大值为 71. 63 2(2014 天津改编)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120 ，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BEBC， DFDC.若AE AF1，CE CF2 3，则 _. 答案 5 6 解析 AE ABBC，AFAD DC ， AE AF(ABBC) (AD DC )AB AD AB DC BC AD BC DC 2 2 (1 2)442 2 ( 1 2)24()21. 2() 3 2. CE CF(1)CB (1)CD (1)CB CD 2 2 (1 2)(1) 2()12 3，()1 1 3，即 () 2 3. 由解得 5 6. 押题精练 1在 RtABC 中，BCA90 ，CACB1，P 为 AB 边上的点，且AP AB，若CP AB PA PB，则 的取值范围是_ 答案 2 2 2 ，1 解析 因为CP AB(APAC) ABAP ABAC ABAB ABAC AB21 2 cos 421， PA PBAP PBAB (1)AB2(1)，因为CP ABPA PB，所以 212(1)， 解得2 2 2 2 2 2 ，又因为 P 为 AB 边上的点，所以 01，所以2 2 2 1. 2如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，AOB60 ，C 为弧上的动点，AB 与 OC 交于点 P，则OP BP 最小 值是_ 答案 1 16 解析 因为OP OB BP ，所以OP BP (OB BP ) BPOB BP (BP)2. 又因为AOB60 ，OAOB，所以OBA60 .OB1.所以OB BP |BP|cos 120 1 2|BP |. 所以OP BP 1 2|BP |BP|2(|BP|1 4) 2 1 16 1 16. 故当且仅当|BP |1 4时，OP BP 最小值是1 16. 3已知向量 m(sin x，cos x)，n(3 2， 3 2 )，xR，函数 f(x)m n. (1)求 f(x)的最大值； (2)在ABC 中，设角 A，B 的对边分别为 a，b，若 B2A，且 b2af(A 6)，求角 C 的大小 解 (1)f(x)3 2sin x 3 2 cos x 3sin(x 6)，所以 f(x)的最大值为 3. (2)因为 b2af(A 6)，由(1)和正弦定理，得 sin B2 3sin 2A.又 B2A，所以 sin 2A2 3sin2A， 64 即 sin Acos A 3sin2A，而 A 是三角形的内角，所以 sin A0，故 cos A 3sin A，tan A 3 3 ， 所以 A 6，B2A 3，CAB 2. 一、填空题 1设向量 a，b，则“|a b|a|b|”是“ab”的_条件 答案 充要 解析 设向量 a，b 的夹角为 ，若|a b|a|b|cos |a|b|，cos 1，则 ab；若 ab， 则 cos 1，从而|a b|a|b| cos |a|b|，“|a b|a|b|”是“ab”的充要条件 2已知向量OA (2,2)，OB (4,1)，点 P 在 x 轴上，AP BP取最小值时，点 P 坐标是_ 答案 (3,0) 解析 依题意设 P(x,0)，则AP (x2，2)，BP(x4，1)，所以AP BP(x2)(x4) 2x26x10(x3)21，当 x3 时AP BP取得最小值 1，此时点 P 坐标为(3,0) 3已知|a|1，|b|2， a，b 3，则|ab|_. 答案 7 解析 |ab|2a2b22a b142|a| |b| cosa，b52 1 2 1 27，所以|ab| 7. 4在四边形 ABCD 中，AC (1,2)，BD (4,2)，则该四边形的面积为_ 答案 5 解析 AC BD 0，ACBD.四边形 ABCD 的面积 S1 2|AC |BD|1 2 5 2 55. 5等腰直角三角形 ABC 中，A 2，ABAC2，M 是 BC 的中点，P 点在ABC 内部或其边界上运动， 则BP AM 的取值范围是_ 答案 2,0 解析 以点 A 为坐标原点，射线 AB，AC 分别为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 则 B(2,0)，M(1,1)设 P(x，y)，由于点 P 在ABC 内部或其边界上运动，故 x0，y0 且 xy2， BP AM (x2，y) (1,1)x2y，所以BP AM 的取值范围是2,0 6 若点 M 是ABC 所在平面内的一点， 且满足 5AM AB 3AC， 则ABM 与ABC 的面积比为_ 答案 3 5 解析 设 AB 的中点为 D，由 5AM AB 3AC，得 3AM 3AC 2AD 2AM ，即 3CM 2MD . 如图所示，故 C，M，D 三点共线，且MD 3 5CD ， 也就是ABM 与ABC 对于边 AB 的两高之比为 35， 则ABM 与ABC 的面积比为3 5. 7在 RtABC 中，AB1，BC2，AC 3，D 在边 BC 上，BD2 3，则AB AD _. 65 答案 2 3 解析 RtABC 中，AB1，BC2，AC 3，BAC90 ，BD 2 3，BC2， 得到BD BC 1 3，BD 1 3BC ， AD AB BD AB 1 3BC AB1 3(AC AB)1 3AC 2 3AB ， AB AD AB (1 3AC 2 3AB )1 3AB AC2 3AB 202 3 1 22 3. 8已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO 1 2(AB AC)，则AB与AC的夹角为_ 答案 90 解析 AO 1 2(AB AC)，点 O 是ABC 中边 BC 的中点， BC 为直径，根据圆的几何性质有AB ，AC90 . 9已知 e1，e2为相互垂直的单位向量，若向量 e1e2与 e1e2的夹角等于 60 ，则实数 _. 答案 2 3 解析 因为 e1，e2为相互垂直的单位向量，则不妨设 e1，e2分别为直角坐标系中 x，y 轴的 正方向的单位向量，则向量 e1e2与 e1e2的坐标为(，1)，(1，)，因为向量 e1e2与 e1e2的夹角 等于 60 ，所以由向量数量积的定义可得 cos 60 e1e2e1e2 |e1e2| |e1e2| 1 2 2 21 212 3. 10.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为 90 .如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上 运动若OC xOA yOB ，其中 x、yR，则 xy 的最大值是_ 答案 2 解析 设AOC，则COB90 ， OC cos OA sin OB ，即 xcos ， ysin . xycos sin 2sin 4 2. 二、解答题 11.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴正半轴上，直线 AB 的倾斜角为3 4 ，|OB|2， 设AOB， 2， 3 4 . (1)用 表示点 B 的坐标及|OA|； (2)若 tan 4 3，求OA OB 的值 解 (1)由题意，可得点 B 的坐标为(2cos ，2sin ) 在ABO 中，|OB|2，BAO 4，B 4 3 4 . 由正弦定理，得|OB| sin 4 |OA| sin B，即|OA|2 2sin 3 4 . (2)由(1)，得OA OB |OA | |OB | cos 4 2sin 3 4 cos . 因为 tan 4 3， 2， 3 4 ，所以 sin 4 5，cos 3 5. 66 又 sin 3 4 sin 3 4 co