江苏启东数学大一轮讲义二函数与导数第3讲导数及其应用pdf

33 专题二 函数与导数 专题二 函数与导数 第第 3 讲 导数及其应用讲 导数及其应用 总序总序 5 考情解读 (1)导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点(2)利用函数的单调性和最值确 定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用 热点一 导数的运算和几何意义 例 1 (1)曲线 ye 5x2 在点(0,3)处的切线方程为_ (2)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A 是曲线 C1：yax31(a0)与曲线 C2：x2y25 2的一个公共点，若 C1 在 A 处的切线与 C2在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是_ 思维启迪 (1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程(2)A 点坐标 是解题的关键点，列方程求出 答案 (1)5xy30 (2)4 解析 (1)因为 ye 5x(5x)5e5x，所以 y| x05， 故切线方程为 y35(x0)，即 5xy30. (2)设 A(x0，y0)，则 C1在 A 处的切线的斜率为 f(x0)3ax20，C2在 A 处的切线的斜率为 1 kOA x0 y0， 又 C1在 A 处的切线与 C2在 A 处的切线互相垂直，所以(x 0 y0) 3ax201，即 y03ax30， 又 ax30y01，所以 y03 2，代入 C2：x 2y25 2，得 x0 1 2， 将 x0 1 2，y0 3 2代入 yax 31(a0)，得 a4. 思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P为切点 (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂 直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来 求解 (1)已知函数 yf(x)的导函数为 f(x)且 f(x)x2f( 3)sin x，则 f( 3)_. (2)若曲线 f(x)xsin x1 在 x 2处的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数 a_. 答案 (1) 3 64 (2)2 解析 (1)因为 f(x)x 2f( 3)sin x，所以 f(x)2xf( 3)cos x 34 所以 f( 3)2 3f( 3)cos 3.所以 f( 3) 3 64. (2)f(x)sin xxcos x，f( 2)1，即函数 f(x)xsin x1 在点 x 2处的切线的斜率是 1， 直线 ax2y10 的斜率是a 2，所以( a 2) 11，解得 a2. 热点二 利用导数研究函数的性质 例 2 已知函数 f(x)(xa)ex，其中 e 是自然对数的底数，aR. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 x0,4时，求函数 f(x)的最小值 思维启迪 (1)直接求 f(x)，利用 f(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间0,4和所得单调区间的关系，一般 情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到 解 (1)因为 f(x)(xa)ex，xR，所以 f(x)(xa1)ex.令 f(x)0，得 xa1. 当 x 变化时，f(x)和 f(x)的变化情况如下： x (，a1) a1 (a1，) f(x) 0 f(x) 故 f(x)的单调减区间为(，a1)，单调增区间为(a1，) (2)由(1)得，f(x)的单调减区间为(，a1)；单调增区间为(a1，) 所以当a10，即 a1 时，f(x)在0,4上单调递增，故 f(x)在0,4上的最小值为 f(x)minf(0)a； 当 0a14，即5a1 时， f(x)在(0，a1)上单调递减， f(x)在(a1,4)上单调递增， 故 f(x)在0,4上的最小值为 f(x)minf(a1)e a1； 当a14，即 a5 时，f(x)在0,4上单调递减， 故 f(x)在0,4上的最小值为 f(x)minf(4)(a4)e4. 所以函数 f(x)在0,4上的最小值为 f(x)min a， a1， e a1， 5a0 或 f(x)0 在1，e上恒成立，此时 f(x)在1，e上是增函数 所以 f(x)minf(1)2a3，解得 a3 2(舍去) 若 12ae，令 f(x)0，得 x2a. 当 1x2a 时，f(x)0， 所以 f(x)在(1,2a)上是减函数，当 2ae，则 x2a0)， F(x) 1 x a x2 xa x2 . a0，由 F(x)0x(a，)，F(x)在(a，)上是增函数 36 由 F(x)0x(0，a)，F(x)在(0，a)上是减函数 F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，) (2)由 F(x)xa x2 (0x3)得 kF(x0)x 0a x20 1 2(00) 当 a0 时，恒有 f(x)0，则 f(x)在(0，)上是增函数 当 a0 时，若 0 1 2a，则 f(x)f(x)max. 37 因为 a(4，2)，所以 2 4 1 2a 1 22a， 即 ma2.因为 a(4，2)，所以20，1x1，所以当 0a1 时，若 x1，a，则 f(x)x33x3a， f(x)3x230，故 f(x)在(a,1)上是增函数所以 g(a)f(a)a3. 当 a1 时，有 xa，则 f(x)x33x3a， f(x)3x230，故 f(x)在(1,1)上是减函数， 所以 g(a)f(1)23a. 综上，g(a) a3，0a1， 23a，a1. (2)证明 令 h(x)f(x)g(a) 当 0a1 时，g(a)a3.若 xa,1，则 h(x)x33x3aa3， h(x)3x23，所以 h(x)在(a,1)上是增函 数，所以，h(x)在a,1上的最大值是 h(1)43aa3，且 0a0，知 t(a)在(0,1)上是增函数 所以，t(a)t(1)4，即 h(1)0，因此函数 f(x)在0,1上单调递增， 38 所以 x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在 x1,2，使得 g(x)x22ax41， 即 x22ax50，即 ax 2 5 2x能成立，令 h(x) x 2 5 2x，则要使 ah(x)在 x1,2能成立， 只需使 ah(x)min，又函数 h(x)x 2 5 2x在 x1,2上单调递减，所以 h(x)minh(2) 9 4，故只需 a 9 4. 2已知函数 f(x)x 2 8ln x，x1,3 (1)求 f(x)的最大值与最小值； (2)若 f(x)4at 对任意的 x1,3，t0,2恒成立，求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)x 2 8ln x，f(x) x 4 1 x，令 f(x)0 得 x 2， x1,3，当 1x2 时，f(x)0；当 21， 1 8( 9 8ln 3)ln 310，f(1)f(3)， x1 时函数 f(x)取得最大值为1 8，x2 时函数 f(x)取得最小值为 1 2ln 2. (2)由(1)知当 x1,3时，1 2ln 2f(x) 1 8，故对任意 x1,3，f(x)1 8对任意 t0,2恒成立，即 at 31 8 恒成立，记 g(t)at，t0,2 g(0)31 8 g(2)ex1 的解集 为_ 答案 x|x0 解析 构造函数 g(x)ex f(x)ex，因为 g(x)ex f(x)ex f(x)exexf(x)f(x)exex ex0， 所以 g(x)ex f(x)ex为 R 上的增函数 又因为 g(0)e0 f(0)e01， 所以原不等式转化为 g(x)g(0)， 解得 x0. 5若函数 f(x)loga(x3ax)(a0，a1)在区间(1 2，0)内单调递增，则 a 的取值范围是_ 答案 3 4，1) 解析 由 x 3ax0 得 x(x2a)0.则有 x0， x2a0 或 x0， x2a a或 ax0，即函数 f(x)的定义域为( a，)( a，0) 令 g(x)x3ax，则 g(x)3x2a. 由 g(x)0 得 3a 3 x0.从而 g(x)在 x( 3a 3 ，0)上是减函数， 又函数 f(x)在 x(1 2，0)内单调递增，则有 0a1， a1 2， 3a 3 1 2， 所以3 4ag(x)，则当 ag(x)f(b) 答案 解析 f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数， 当 ag(x)f(a) 7若函数 f(x)ax1 x2 在 x(2，)上单调递减，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，1 2) 解析 f(x) ax1x2x2ax1 x22 ax2ax1 x22 2a1 x22， 令 f(x)0，即 2a10，解得 a1 2. 8已知函数 f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线 3xy0 平行，若 f(x)在区间t，t1 上单调递减，则实数 t 的取值范围是_ 答案 2，1 解析 由题意知，点(1,2)在函数 f(x)的图象上，故mn2. 40 又 f(x)3mx22nx，则 f(1)3，故 3m2n3. 联立解得：m1，n3，即 f(x)x33x2，令 f(x)3x26x0，解得2x0， 则t，t12,0，故 t2 且 t10，所以 t2，1 9已知函数 f(x)1 2x 24x3ln x 在t，t1上不单调，则 t 的取值范围是_ 答案 0t1 或 2t3 解析 f(x)x43 x x24x3 x x1x3 x ， 由 f(x)0 得函数的两个极值点 1,3， 则只要这两个极值点在区间(t，t1)内函数在区间t，t1上就不单调， 由 t1t1 或 t3t1，解得 0t1 或 2t0)， 令 f(x)0 得 2aln x1 x ，设 (x)ln x1 x ，则 (x)ln x x2 . 易知 (x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，大致图象如图 若 f(x)有两个极值点，则 y2a 和 y(x)图象有两个交点，02a1，0a3)上的最小值； (3)若对x2，kf(x)g(x)恒成立，求实数 k 的取值范围 解 (1)f(x)aex(x2)，g(x)2xb. 由题意，得两函数在 x0 处有相同的切线 f(0)2a，g(0)b，2ab，f(0)a，g(0)2，a2，b4， f(x)2ex(x1)，g(x)x24x2. (2)f(x)2ex(x2)，由 f(x)0 得 x2，由 f(x)2. 当3t2 时，f(x)在t，2上单调递减， 在2，t1上单调递增